Integrimi me pjesë

Në analizë, integimi me pjesë është një rregull që transformon integralin e prodhimit të funksioneve në integrale më të thjeshta. Ky rregull bazohet tek formula për derivatin e prodhimit të funksioneve.

Nëqoftëse u = f(x), v = g(x), dhe diferencialet du = f '(x) dx dhe dv = g'(x) dx, atëhere rregulli i integrimit me pjesë pohon se

${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du,\!}$

pra:

${\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx.\!}$

Supozoni se f(x) dhe g(x) janë dy funksione të diferencueshme dhe të vazhdueshme. Rregulli i prodhimit pohon se

${\displaystyle (f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\!}$

Duke integruar të dyja anët marrim:

${\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)g'(x)\,dx+\int f'(x)g(x)\,dx\!}$

Duke rriregulluar termat kemi:

${\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\!}$

Nga barazimi i mëlartëm marrim rregullin e integrimit me pjesë, i cili pohon se, në një interval të dhënë me pika fundore a dhe b,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx\!}$

ku përdorim simbolikën e zakonshme

${\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).\!}$

Rregulli del të jetë i vërtetë duke përdorur rregullin e prodhimit për derivatet dhe teoremën themelore të analizës matematike. pra

${\displaystyle {\begin{aligned}f(b)g(b)-f(a)g(a)&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx\\&=\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.\end{aligned}}}$

Në tekstet shkollore, rregulli jepet duke përdorur integralin e pacaktuar në formën

${\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\!}$

ose , nqs u = f(x), v = g(x) dhe diferencialet du = f ′(x) dx dhe dv = g′(x) dx, atëhere merr formën :

${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\!}$