Logaritmet

Në matematikë, logaritmi është funksioni i anasjelltë i eksponencimit. Kjo do të thotë se nëse një numër a ngrihet në fuqi b për të dhënë numrin x, me anën e logaritmit me bazë a mbi numrin x ne gjejmë fuqinë b.

Për ta shtjelluar konceptin e logaritmit po japim këta shembuj:

Shembulli 1

Logaritmi i 1000 në bazën 10 është 3, sepse 10 në fuqi me 3 na jep 1000 : Ashtu 10 × 10 × 10 = 1000 ;

Pra log₃(1000)=10 sepse 10³=1000

Shembulli 2

Logaritmi i 32 në bazën 2 është 5 sepse 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Pra, log₂32=5 sepse 2⁵=32

Në gjuhën e fuqive : 10³ = 1000, pra log₁₀1000  = 3, dhe 2⁵ = 32, pra log₂32 = 5.

Logaritmi i x në bazën b shkruhet me log_b(x) ,

${\displaystyle {\text{ po qe se }}x=b^{y},{\text{ atehere }}y=\log _{b}(x)\,.}$

Le të jenë x dhe b numra realë pozitivë, atëherë ekziston vetëm një numër real log_b(x). Vlera absolute e bazës duhet të jetë e ndryshme nga 0 dhe nga 1 ; zakonisht për bazë merret numri 10, numri e, ose numri 2.

Veti kryesore e logaritmeve është që ata shumëzimin e kthejnë në mbledhje. Kjo sepse :

${\displaystyle b^{x}\times b^{y}=b^{x+y}\ ,}$

pas logaritmit kemi

${\displaystyle \log _{b}\left(b^{x}\times b^{y}\right)=\log _{b}\left(b^{x+y}\right)}$ ${\displaystyle \ =x+y=\log _{b}\left(b^{x}\right)+\log _{b}\left(b^{y}\right).\ }$

P. sh.

${\displaystyle 4=2^{2}\,\Rightarrow \,\log _{2}(4)=2\,,}$

${\displaystyle 8=2^{3}\,\Rightarrow \,\log _{2}(8)=3\,,}$

${\displaystyle \log _{2}(32)=\log _{2}(4\times 8)=\log _{2}(4)+\log _{2}(8)=2+3=5\,.}$

shëndrrimi i fuqizimit në shumëzim. Nga identiteti :

${\displaystyle c=b^{\log _{b}(c)}\ ,}$

rrjedh se c është fuqi e p :

${\displaystyle c^{p}=\left(b^{\log _{b}(c)}\right)^{p}=b^{p\log _{b}(c)}\ ,}$

pas logaritmimit :

${\displaystyle \log _{b}\left(c^{p}\right)=p\log _{b}(c)\ .}$

P.sh.

${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(4^{3})=3\log _{2}(4)=6\,.}$

gjithashtu me ndihmën e logaritmave pjesëtimi reduktohet në zbritje dhe rrënjëzimi në pjestim. p. sh.

${\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4\,,}$

${\displaystyle \log _{2}({\sqrt[{3}]{4}})={\frac {1}{3}}\log _{2}(4)={\frac {2}{3}}\,.}$