Matematika

Shkronja e ndriçuar P në fillim të përkthimit të Adelard nga Bath-it të Elementeve të Euklidit, që fillon "Punctum est illud cui pars non est" (Pika është ajo që nuk ka pjesë).[1] Gjeometria paraqitet e personifikuar si grua, duke ndjekur De nuptiis Philologiae et Mercurii të Martianus Capella-s.[2]

Matematika është një fushë njohurie që merret me koncepte abstrakte si numrat, format gjeometrike, bashkësitë, funksionet, dhe probabilitetet. Ajo përdor arsyetim logjik dhe vërtetim për të studiuar dhe vendosur vetitë e tyre, shpesh të shprehura si teorema, formula, dhe ekuacione. Matematika përdoret për të modeluar dhe zgjidhur probleme në shkencë, inxhinieri, teknologji, ekonomi, dhe jetën e përditshme.

Ka shumë fusha të matematikës, duke përfshirë teorinë e numrave (studimi i numrave të plotë dhe vetive të tyre), algjebrën (studimi i veprimeve dhe strukturave që ato formojnë), gjeometrinë (studimi i formave dhe hapësirave që i përmbajnë), analizën (studimi sasior i përafrimit dhe konvergjencës), dhe teorinë e bashkësive (aktualisht e përdorur si themel për gjithë matematikën).

Matematika përfshin përshkrimin dhe manipulimin e objekteve abstrakte që janë ose abstraksione nga natyra ose entitete plotësisht abstrakte të cilave u caktohen veti të caktuara, të quajtura aksioma. Matematika përdor arsyetimin e pastër për të vërtetuar vetitë e objekteve përmes provave, të cilat përbëhen nga një sukcesion zbatimesh të rregullave deduktive ndaj rezultateve tashmë të vendosura. Këto rezultate, të quajtura teorema, përfshijnë teorema të vërtetuara më parë, aksioma, dhe – në rastin e abstraksionit nga natyra – disa veti bazë që konsiderohen pika fillestare të vërteta të teorisë në shqyrtim.[3]

Matematika është thelbësore në shkencat natyrore, inxhinieri, mjekësi, financa, shkencën kompjuterike, dhe shkencat shoqërore. Edhe pse matematika përdoret gjerësisht për të modeluar fenomene empirike, rezultatet e saj vendosen përmes provës deduktive dhe jo përmes eksperimentit. Marrëdhënia mes së vërtetës matematikore, logjikës, dhe realitetit është subjekt debati filozofik. Disa fusha të matematikës, si teoria e lojërave, zhvillohen në lidhje të ngushtë me zbatimet e tyre dhe shpesh grupohen nën matematikën e aplikuar. Fusha të tjera zhvillohen në mënyrë të pavarur nga çdo zbatim, por shpesh gjejnë zbatime praktike më vonë.[4][5]

Regjistrimet e shkruara matematikore u shfaqën së pari në Egjiptin e lashtë dhe Mesopotami, por koncepti i provës dhe rigoroziteti matematikor i shoqëruar filluan në matematikën e Greqisë së lashtë, të shembulluar në Elementet e Euklidit.[6] Matematika u nda kryesisht në gjeometri dhe aritmetikë deri në shekujt XVI dhe XVII, kur algjebra[a] dhe llogaritja infinitezimale u zhvilluan në fusha të reja. Që atëherë, ndërveprimi mes inovacioneve matematikore dhe zbulimeve shkencore ka çuar në rritje të ndërlidhur të zhvillimit të të dyjave.[7] Në fund të shekullit XIX, kriza themeltare e matematikës çoi në përdorimin sistematik të metodës aksiomatike,[8] e cila paralajmëroi një rritje dramatike të numrit të fushave matematikore dhe fushave të tyre të aplikimit. Klasifikimi bashkëkohor i Lëndëve të Matematikës numëron më shumë se gjashtëdhjetë fusha të nivelit të parë të matematikës.[9][10]

Fushat e matematikës

Para Rilindjes, matematika ndahej në dy fusha kryesore: aritmetikën, në lidhje me studimin dhe manipulimin e numrave, dhe gjeometrinë, në lidhje me studimin e formave.[11] Disa lloje pseudoshkence, si numerologjia dhe astrologjia, nuk dalloheshin atëherë qartë nga matematika.[12]

Duke filluar me Rilindjen, dy fusha të tjera u bënë mbizotëruese. Notacioni i ri matematikor çoi në algjebrën moderne e cila, afërsisht, fillon me studimin dhe manipulimin e shprehjeve algjebrike. Llogaritja infinitezimale, e përbërë nga dy nënfushat llogaritja diferenciale dhe llogaritja integrale, e pati origjinën në gjeometri, por evoluoi në studimin e funksioneve të vazhdueshme, të cilat modelojnë marrëdhëniet zakonisht jolineare mes sasive që ndryshojnë, të përfaqësuara nga variablat. Kjo ndarje në katër fusha kryesore – aritmetikë, gjeometri, algjebër, dhe llogaritje infinitezimale[13] – zgjati deri në fund të shekullit XIX. Fusha të tjera që më parë studioheshin nga matematikanë, si mekanika qiellore dhe mekanika e ngurtë, tani konsiderohen si pjesë e fizikës.[14] Subjekti i kombinatorikës është studiuar për pjesën më të madhe të historisë së shkruar, por nuk u bë degë e veçantë e matematikës deri në shekullin XVII.[15]

Në fund të shekullit XIX, kriza themeltare në matematikë dhe përdorimi sistematik i metodës aksiomatike çuan në një shpërthim fushash të reja matematikore.[16][8] Klasifikimi i Lëndëve të Matematikës i vitit 2020 përmban jo më pak se gjashtëdhjetë e tre fusha të nivelit të parë.[10] Disa nga këto fusha korrespondojnë me ndarjen më të vjetër, siç është rasti me teorinë e numrave (emri modern për aritmetikën e lartë) dhe gjeometrinë. Disa fusha të tjera të nivelit të parë kanë "gjeometri" në emrat e tyre ose ndryshe konsiderohen zakonisht pjesë e gjeometrisë. Algjebra dhe llogaritja infinitezimale nuk shfaqen si fusha të nivelit të parë, por ndahen në disa fusha të nivelit të parë. Fusha të tjera të nivelit të parë u shfaqën gjatë shekullit XX ose më parë nuk ishin konsideruar matematikë, si logjika matematikore dhe themelet e matematikës.[9]

Teoria e numrave

Kjo është spiralja Ulam, e cila ilustron shpërndarjen e numrave të thjeshtë. Linjat e errëta diagonale në spirale sugjerojnë pavarësinë e supozuar e përafërt mes qenies së thjeshtë dhe qenies vlerë e një polinomi katror, hamendje tani e njohur si Hamendja F e Hardy-t dhe Littlewood-it.

Teoria e numrave evoluoi nga manipulimi i numrave, domethënë, numrave natyrorë dhe më vonë u zgjerua në numra të plotë dhe numra racionalë Teoria e numrave dikur quhej aritmetikë, por sot ky term përdoret kryesisht për llogaritjet numerike.[17] Studimi i numrave, siç mund të argumentohet, daton në Babiloninë e lashtë dhe ndoshta Kinën e lashtë, por u zhvillua në një disiplinë të veçantë në Greqinë e Lashtë. Dy teoricienë të hershëm të shquar të numrave ishin Euklidi dhe Diofanti i Aleksandrisë.[18] Studimi modern i teorisë së numrave në formën e saj abstrakte i atribuohet kryesisht Pierre de Fermat-it dhe Leonhard Euler-it. Fusha arriti pjekurinë e plotë me kontributet e Adrien-Marie Legendre-s dhe Carl Friedrich Gauss-it.[19]

Shumë probleme numrash lehtësisht të deklaruara kanë zgjidhje që kërkojnë metoda të sofistikuara, shpesh nga e gjithë matematika. Një shembull i spikatur është Teorema e Fundit e Fermat-it. Kjo hamendje u deklarua në 1637 nga Pierre de Fermat, por u vërtetua vetëm në 1994 nga Andrew Wiles, i cili përdori mjete duke përfshirë teorinë e skemave nga gjeometria algjebrike, teorinë e kategorive, dhe algjebrën homologjike.[20] Një shembull tjetër është Hamendja e Goldbach-ut, e cila pohon se çdo numër i plotë çift më i madh se 2 është shuma e dy numrave të thjeshtë. E deklaruar në 1742 nga Christian Goldbach, mbetet e pavërtetuar pavarësisht përpjekjeve të konsiderueshme.[21]

Teoria e numrave përfshin disa nënfusha, duke përfshirë teorinë analitike të numrave, teorinë algjebrike të numrave, gjeometrinë e numrave (e orientuar sipas metodës), analizën diofantine, dhe teorinë e transhendencës (e orientuar sipas problemit).[9]

Gjeometria

Në sipërfaqen e një sfere, gjeometria euklidiane zbatohet vetëm si përafrim lokal. Për shkallë më të mëdha, shuma e këndeve të një trekëndëshi nuk është e barabartë me 180°.

Gjeometria është një nga degët më të vjetra të matematikës. Filloi me receta empirike që kishin të bënin me forma, si vija, kënde, dhe rrathë, të cilat u zhvilluan kryesisht për nevojat e gjeodezisë dhe arkitekturës, por që atëherë ka lulëzuar në shumë nënfusha të tjera.[22]

Një inovacion themelor ishte futja nga grekët e lashtë e konceptit të provave, të cilat kërkojnë që çdo pohim të vërtetohet. Për shembull, nuk mjafton të verifikohet me matje se, të themi, dy gjatësi janë të barabarta; barazia e tyre duhet të vërtetohet përmes arsyetimit nga rezultate të pranuara më parë (teorema) dhe disa pohime bazë. Pohimet bazë nuk i nënshtrohen provës sepse janë vetvetiu të qarta (postulate), ose janë pjesë e përkufizimit të subjektit të studimit (aksioma). Ky parim, themeltar për gjithë matematikën, u elaborua fillimisht për gjeometrinë, dhe u sistemuazua nga Euklidi rreth 300 p.e.s në librin e tij Elementet.[23][24]

Gjeometria euklidiane rezultuese është studimi i formave dhe rregullimeve të tyre të ndërtuara nga vija, plane, dhe rrathë në planin euklidian (gjeometria planare) dhe hapësirën tredimensionale euklidiane.[b][22]

Gjeometria euklidiane u zhvillua pa ndryshim metodash ose shtrirje deri në shekullin XVII, kur René Descartes futi atë që tani quhet koordinata karteziane. Kjo përbënte një ndryshim të madh paradigme: në vend që t'i përkufizonte numrat realë si gjatësi segmentesh vijash (shih vijën numerike), lejoi paraqitjen e pikave duke përdorur koordinatat e tyre, që janë numra. Algjebra (dhe më vonë, llogaritja infinitezimale) mund të përdoret kështu për të zgjidhur probleme gjeometrike. Gjeometria u nda në dy nënfusha të reja: gjeometrinë sintetike, e cila përdor metoda thjesht gjeometrike, dhe gjeometrinë analitike, e cila përdor koordinata sistematikisht.[25]

Gjeometria analitike lejon studimin e kurbave të palidhura me rrathë dhe vija. Kurba të tilla mund të përkufizohen si grafiku i funksioneve, studimi i të cilit çoi te gjeometria diferenciale. Ato mund të përkufizohen gjithashtu si ekuacione implicite, shpesh ekuacione polinomiale (të cilat lindën gjeometrinë algjebrike). Gjeometria analitike gjithashtu bën të mundur konsiderimin e hapësirave euklidiane me më shumë se tre dimensione.[22]

Në shekullin XIX, matematikanët zbuluan gjeometritë joeuklidiane, të cilat nuk ndjekin postulatin e paraleleve. Duke vënë në pikëpyetje të vërtetën e atij postulati, ky zbulim është parë si bashkim me paradoksin e Russell-it në zbulimin e krizës themeltare të matematikës. Ky aspekt i krizës u zgjidh duke sistemuar metodën aksiomatike, dhe duke pranuar se e vërteta e aksiomave të zgjedhura nuk është problem matematik.[26][8] Nga ana tjetër, metoda aksiomatike lejon studimin e gjeometrive të ndryshme, të fituara ose duke ndryshuar aksiomat ose duke konsideruar veti që nuk ndryshojnë nën transformime specifike të hapësirës.[27]

Nënfushat e sotme të gjeometrisë përfshijnë:[9]

  • Gjeometria projektive, futur në shekullin XVI nga Girard Desargues, e zgjeron gjeometrinë euklidiane duke shtuar pika në pafundësi ku vijat paralele kryqëzohen. Kjo e thjeshton shumë aspekte të gjeometrisë klasike duke unifikuar trajtimet për vijat që kryqëzohen dhe ato paralele.
  • Gjeometria afine, studimi i vetive relative ndaj paralelizmit dhe të pavarura nga koncepti i gjatësisë.
  • Gjeometria diferenciale, studimi i kurbave, sipërfaqeve, dhe përgjithësimeve të tyre, të cilat përkufizohen duke përdorur funksione të diferencueshme.
  • Teoria e shumësive, studimi i formave që nuk janë domosdoshmërisht të futura në një hapësirë më të madhe.
  • Gjeometria rimaniane, studimi i vetive të distancës në hapësira të lakuara.
  • Gjeometria algjebrike, studimi i kurbave, sipërfaqeve, dhe përgjithësimeve të tyre, të cilat përkufizohen duke përdorur polinome.
  • Topologjia, studimi i vetive që ruhen nën deformime të vazhdueshme.
    • Topologjia algjebrike, përdorimi në topologji i metodave algjebrike, kryesisht algjebra homologjike.
  • Gjeometria diskrete, studimi i konfigurimeve të fundme në gjeometri.
  • Gjeometria konvekse, studimi i bashkësive konvekse, e cila e merr rëndësinë e saj nga zbatimet e saj në optimizim.
  • Gjeometria komplekse, gjeometria e fituar duke i zëvendësuar numrat realë me numra kompleksë.

Algjebra

x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/2a
Formula kuadratike, e cila shpreh koncizisht zgjidhjet e të gjitha ekuacioneve kuadratike
Kub Rubik i përzier 3x3
Grupi i Kubit Rubik është një zbatim konkret i teorisë së grupeve.[28]

Algjebra është arti i manipulimit të ekuacioneve dhe formulave. Diofanti (shekulli III) dhe al-Khwarizmi (shekulli IX) ishin dy paraardhësit kryesorë të algjebrës.[29][30] Diofanti zgjidhi disa ekuacione që përfshinin numra natyrorë të panjohur duke nxjerrë marrëdhënie të reja derisa arrinte zgjidhjen.[31] Al-Khwarizmi futi metoda sistematike për transformimin e ekuacioneve, si zhvendosja e një termi nga njëra anë e një ekuacioni në anën tjetër.[32] Termi algjebër rrjedh nga fjala arabe al-jabr, që do të thotë 'ribashkimi i pjesëve të thyera', e cila u përdor për të emërtuar një nga këto metoda në titullin e traktatit të tij kryesor.[33][34]

Algjebra u bë fushë më vete vetëm me François Viète-në (1540–1603), i cili futi përdorimin e variablave për të përfaqësuar numra të panjohur ose të papërcaktuar.[35] Variablat u lejojnë matematikanëve të përshkruajnë veprimet që duhet të kryhen mbi numrat e përfaqësuar duke përdorur formula matematikore.[36]

Deri në shekullin XIX, algjebra përbëhej kryesisht nga studimi i ekuacioneve lineare (aktualisht algjebra lineare), dhe ekuacioneve polinomiale me një të panjohur të vetme, të quajtura ekuacione algjebrike (term ende në përdorim, edhe pse mund të jetë i paqartë). Gjatë shekullit XIX, matematikanët filluan të përdorin variabla për të përfaqësuar gjëra të tjera përveç numrave (si matricat, numrat modularë, dhe transformimet gjeometrike), mbi të cilat përgjithësime të veprimeve aritmetike shpesh janë të vlefshme.[37] Koncepti i strukturës algjebrike e trajton këtë, duke u përbërë nga një bashkësi elementet e së cilës janë të papërcaktuara, veprime që veprojnë mbi elementet e bashkësisë, dhe rregulla që këto veprime duhet t'i ndjekin. Fusha e algjebrës kështu u rrit për të përfshirë studimin e strukturave algjebrike. Ky objekt i algjebrës u quajt algjebër moderne ose algjebra abstrakte, siç u vendos nga ndikimi dhe veprat e Emmy Noether-it,[38] dhe u popullarizua nga libri i Van der Waerden-it Moderne Algebra.

Disa lloje strukturash algjebrike kanë veti të dobishme dhe shpesh themeltare, në shumë fusha të matematikës. Studimi i tyre u bë pjesë autonome e algjebrës, dhe përfshin:[9]

  • teorinë e grupeve
  • teorinë e fushave
  • hapësirat vektoriale, studimi i të cilave është në thelb i njëjtë me algjebrën lineare
  • teorinë e unazave
  • algjebrën komutative, e cila është studimi i unazave komutative, përfshin studimin e polinomeve, dhe është pjesë themeltare e gjeometrisë algjebrike
  • algjebrën homologjike
  • teorinë e algjebrave dhe grupeve Lie
  • algjebrën Boole-ane, e cila përdoret gjerësisht për studimin e strukturës logjike të kompjuterëve

Studimi i llojeve të strukturave algjebrike si objekte matematikore është qëllimi i algjebrës universale dhe teorisë së kategorive.[39] Kjo e fundit zbatohet për çdo strukturë matematikore (jo vetëm ato algjebrike). Në origjinën e saj, u fut, së bashku me algjebrën homologjike, për të lejuar studimin algjebrik të objekteve joalgjebrike si hapësirat topologjike; kjo fushë e veçantë aplikimi quhet topologji algjebrike.[40]

Llogaritja infinitezimale dhe analiza

Një sukcesion Cauchy përbëhet nga elemente të tilla që të gjithë termat pasues të një termi bëhen arbitrarisht të afërt me njëri-tjetrin ndërsa sukcesioni përparon (nga e majta në të djathtë).

Llogaritja infinitezimale, dikur e quajtur thjesht llogaritje infinitezimale, u fut në mënyrë të pavarur dhe njëkohësisht nga matematikanët e shekullit XVII, Njutoni dhe Lajbnici.[41] Është në thelb studimi i marrëdhënies mes variablave që varen vazhdimisht nga njëra-tjetra. Llogaritja infinitezimale u zgjerua në shekullin XVIII nga Euleri me futjen e konceptit të funksionit dhe shumë rezultate të tjera.[42] Aktualisht, "llogaritja infinitezimale" i referohet kryesisht pjesës elementare të kësaj teorie, dhe "analiza" përdoret zakonisht për pjesët e avancuara.[43]

Analiza ndahet më tej në analizën reale, ku variablat përfaqësojnë numra realë, dhe analizën komplekse, ku variablat përfaqësojnë numra kompleksë. Analiza përfshin shumë nënfusha të ndara nga fusha të tjera të matematikës, duke përfshirë:[9]

  • Llogaritjen infinitezimale me shumë variabla
  • Analizën funksionale, ku variablat përfaqësojnë funksione që ndryshojnë
  • Integrimin, teorinë e masës, dhe teorinë e potencialit, të gjitha të lidhura fort me teorinë e probabilitetit mbi një kontinuum
  • Ekuacionet diferenciale të zakonshme
  • Ekuacionet diferenciale me derivate të pjesshme
  • Analizën numerike, kryesisht e dedikuar për llogaritjen e zgjidhjeve të ekuacioneve diferenciale të zakonshme dhe me derivate të pjesshme që dalin në shumë zbatime

Matematika diskrete

Një diagram që përfaqëson një zinxhir Markov me dy gjendje. Gjendjet përfaqësohen nga 'A' dhe 'E'. Numrat janë probabiliteti i ndryshimit të gjendjes.

Matematika diskrete, gjerësisht, është studimi i objekteve matematikore individuale, të numërueshme. Një shembull është bashkësia e të gjithë numrave të plotë.[44] Meqë objektet e studiuara këtu janë diskrete, metodat e llogaritjes infinitezimale dhe analizës matematike nuk zbatohen drejtpërdrejt.[c] Algoritmet – veçanërisht zbatimi dhe kompleksiteti llogaritës i tyre – luajnë një rol madhor në matematikën diskrete.[45]

Teorema e katër ngjyrave dhe paketimi optimal i sferave ishin dy probleme madhore të matematikës diskrete të zgjidhura në gjysmën e dytë të shekullit XX.[46] Problemi P kundrejt NP-së, i cili mbetet i hapur deri sot, është gjithashtu i rëndësishëm për matematikën diskrete, pasi zgjidhja e tij potencialisht do të prekte një numër të madh problemesh llogaritëse të vështira.[47]

Matematika diskrete përfshin:[9]

  • Kombinatorikën, artin e numërimit të objekteve matematikore që kënaqin disa kufizime të dhëna. Fillimisht, këto objekte ishin elemente ose nënbashkësi të një bashkësie të dhënë; kjo është zgjeruar në objekte të ndryshme, çka krijon një lidhje të fortë mes kombinatorikës dhe pjesëve të tjera të matematikës diskrete. Për shembull, gjeometria diskrete përfshin numërimin e konfigurimeve të formave gjeometrike.
  • Teorinë e grafeve dhe hipergrafet
  • Teorinë e kodimit, duke përfshirë kodet korrigjuese të gabimeve dhe një pjesë të kriptografisë
  • Teorinë e matroideve
  • Gjeometrinë diskrete
  • Shpërndarjet e probabilitetit diskret
  • Teorinë e lojërave (edhe pse studiohen gjithashtu lojëra të vazhdueshme, lojërat më të zakonshme, si shahu dhe pokeri, janë diskrete)
  • Optimizimin diskret, duke përfshirë optimizimin kombinator, programimin me numra të plotë, programimin me kufizime

Logjika matematikore dhe teoria e bashkësive

Një rreth blu dhe rozë dhe prerja e tyre e etiketuar
Diagrami Venn është një metodë e përdorur zakonisht për të ilustruar marrëdhëniet mes bashkësive.

Dy subjektet e logjikës matematikore dhe teorisë së bashkësive i kanë përkitur matematikës që nga fundi i shekullit XIX.[48][49] Para kësaj periudhe, bashkësitë nuk konsideroheshin objekte matematikore, dhe logjika, edhe pse përdorej për prova matematikore, i përkiste filozofisë dhe nuk studiohej në mënyrë specifike nga matematikanët.[50]

Para studimit të Cantor-it mbi bashkësitë e pafundme, matematikanët hezitonin të konsideronin koleksione realisht të pafundme, dhe e konsideronin pafundësinë si rezultat i numërimit të pafund. Puna e Cantor-it fyeu shumë matematikanë jo vetëm duke konsideruar bashkësi realisht të pafundme[51] por duke treguar se kjo nënkupton madhësi të ndryshme pafundësie, sipas argumentit diagonal të Cantor-it. Kjo çoi te kontroversi mbi teorinë e bashkësive të Cantor-it.[52] Në të njëjtën periudhë, fusha të ndryshme të matematikës konkluduan se përkufizimet e mëparshme intuitive të objekteve bazë matematikore ishin të pamjaftueshme për të siguruar rigorozitet matematikor.[53]

Kjo u bë kriza themeltare e matematikës.[54] Përfundimisht u zgjidh në matematikën mainstream duke sistemuar metodën aksiomatike brenda një teorie bashkësish të formalizuar. Afërsisht, çdo objekt matematikor përkufizohet nga bashkësia e të gjitha objekteve të ngjashme dhe vetitë që këto objekte duhet t'i kenë.[16] Për shembull, në aritmetikën Peano, numrat natyrorë përkufizohen nga "zero është një numër", "çdo numër ka një pasardhës unik", "çdo numër përveç zeros ka një paraardhës unik", dhe disa rregulla arsyetimi.[55] Ky abstraksion matematikor nga realiteti mishërohet në filozofinë moderne të formalizmit, siç u themelua nga David Hilbert rreth 1910.[56]

"Natyra" e objekteve të përkufizuara në këtë mënyrë është një problem filozofik që matematikanët ua lënë filozofëve, edhe pse shumë matematikanë kanë mendime rreth kësaj natyre, dhe përdorin mendimin e tyre – ndonjëherë quajtur "intuitë" – për të udhëhequr studimin dhe provat e tyre. Kjo qasje lejon konsiderimin e "logjikave" (domethënë, bashkësive të rregullave të lejuara të nxjerrjes), teoremave, provave, etj. si objekte matematikore, dhe vërtetimin e teoremave rreth tyre. Për shembull, teoremat e paplotësisë të Gödel-it pohojnë, afërsisht, se, në çdo sistem formal të qëndrueshëm që përmban numrat natyrorë, ka teorema që janë të vërteta (domethënë të provueshme në një sistem më të fortë), por jo të provueshme brenda sistemit.[57] Kjo qasje ndaj themeleve të matematikës u sfidua gjatë gjysmës së parë të shekullit XX nga matematikanë të udhëhequr nga Brouwer, i cili promovoi logjikën intuicioniste (së cilës i mungon eksplicit ligji i të mesit të përjashtuar).[58][59]

Këto probleme dhe debate çuan në një zgjerim të gjerë të logjikës matematikore, me nënfusha si teoria e modeleve (modelimi i disa teorive logjike brenda teorive të tjera), teoria e provës, teoria e tipeve, teoria e llogaritshmërisë, dhe teoria e kompleksitetit llogaritës.[9] Edhe pse këto aspekte të logjikës matematikore u futën para ngritjes së kompjuterëve, përdorimi i tyre në projektimin e kompajlerëve, verifikimin formal, analizën e programeve, asistentët e provës, dhe aspekte të tjera të shkencës kompjuterike, kontribuan nga ana e tyre në zgjerimin e këtyre teorive logjike.[60]

Matematika llogaritëse

Matematika llogaritëse është studimi i problemeve matematikore që zakonisht janë tepër të mëdha për kapacitetin njerëzor llogaritës.[61][62]

Pjesë e matematikës llogaritëse përfshin analizën numerike, e cila dedikohet për llogaritjen me përafrime të numrave realë (aritmetika me pikë lëvizëse). Analiza numerike ofron metoda për probleme në analizë, duke përdorur analizën funksionale dhe teorinë e përafrimit. Analiza numerike gjerësisht përfshin studimin e përafrimit dhe diskretizimit, me fokus të veçantë te gabimet e rrumbullakimit.[63] Analiza numerike dhe, më gjerësisht, llogaritja shkencore, studiojnë gjithashtu tema joanalitike të shkencës matematikore, veçanërisht teorinë algoritmike-matricore-dhe-të-grafeve.

Një fushë tjetër e matematikës llogaritëse është algjebra kompjuterike, e cila përbëhet kryesisht nga manipulimi i formulave matematikore në kompjuter.

Vërtetimi automatik i teoremave, i cili përfshin asistentët e provës dhe kontrolluesit e provës, është një fushë tjetër e matematikës llogaritëse që përdoret për verifikimin formal dhe lejoi provën formale të teoremave të vështira matematikore si teorema Feit–Thompson mbi grupet e fundme.

Algoritmika, një pjesë e madhe e matematikës diskrete, dhe kriptografia me çelës publik gjithashtu shpesh konsiderohen si pjesë e matematikës llogaritëse.

Historia

Etimologjia

Fjala matematikë vjen nga fjala e greqishtes së lashtë máthēma (μάθημα), që do të thotë 'diçka e mësuar, njohuri, matematikë', dhe shprehja e prejardhur mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη), që do të thotë 'shkenca matematikore'. Hyri në gjuhën angleze gjatë periudhës së anglishtes së mesme të vonë përmes frëngjishtes dhe latinishtes.[64]

Tradicionalisht, një nga dy shkollat kryesore të mendimit në pitagorianizëm njihej si mathēmatikoi (μαθηματικοί) – çka në atë kohë do të thoshte "të mësuarit" dhe jo "matematikanët" në kuptimin modern. Pitagorianët me shumë gjasa ishin të parët që kufizuan përdorimin e fjalës vetëm në studimin e aritmetikës dhe gjeometrisë. Në kohën e Aristotelit (384–322 p.e.s), ky kuptim ishte plotësisht i vendosur.[65]

Në latinisht dhe anglisht, deri rreth 1700, termi matematikë zakonisht do të thoshte "astrologji" (ose ndonjëherë "astronomi") më shumë sesa "matematikë"; kuptimi ndryshoi gradualisht drejt atij të tanishmit prej rreth 1500 deri 1800. Ky ndryshim ka rezultuar në disa keqpërkthime: për shembull, paralajmërimi i Shën Augustinit se të krishterët duhet të ruhen nga mathematici, duke nënkuptuar "astrologë", ndonjëherë keqpërkthehet si dënim i matematikanëve.[66]

Forma e dukshme shumësi në anglisht i kthehet mbrapsht shumësit asnjanës latin mathematica (Ciceroni), bazuar në shumësin grek ta mathēmatiká (τὰ μαθηματικά) dhe do të thotë afërsisht "të gjitha gjërat matematikore", edhe pse është e mundshme që anglishtja huazoi vetëm mbiemrin mathematic(al) dhe formoi emrin mathematics rishtazi, sipas modelit të physics dhe metaphysics, të trashëguar nga greqishtja.[67] Në anglisht, emri mathematics merr folje njëjës. Shpesh shkurtohet në maths[68] ose, në Amerikën e Veriut, math.[69]

E lashtë

Përveç njohjes së mënyrës si numërohen objektet fizike, popujt parahistorikë mund të kenë ditur gjithashtu si të numëronin sasi abstrakte, si koha – ditë, stinë, ose vite.[70][71]

Imazh i Problemit 14 nga papirusi egjiptian i Moskës. Problemi përfshin një diagram që tregon dimensionet e piramidës së cunguar.

Dëshmi arkeologjike kanë sugjeruar se sistemi egjiptian i lashtë i numërimit e pati origjinën në Afrikën Subsahariane.[72] Gjithashtu, dizajnet e gjeometrisë fraktale, të përhapura gjerësisht mes kulturave subsahariane, gjenden edhe në arkitekturën dhe shenjat kozmologjike egjiptiane.[73] Kocka e Ishango-s, sipas studiuesit Alexander Marshack, mund të ketë ndikuar zhvillimin e mëvonshëm të matematikës në Egjipt, pasi, ashtu si disa shënime në kockën e Ishango-s, aritmetika egjiptiane gjithashtu përdori shumëzimin me 2; kjo, sidoqoftë, është e kontestuar.[74] Strukturat megalitike të vendosura në Nabta Playa, Egjiptin e Epërm, përfshinin astronomi, rregullime kalendarike në përputhje me lindjen heliakale të Siriusit dhe mbështetën kalibrimin e kalendarit vjetor për përmbytjen vjetore të Nilit.[75] Nubianët e lashtë krijuan një sistem rregullash gjeometrike që shërbeu si bazë për orët diellore fillestare. Nubianët praktikuan gjithashtu një metodologji trigonometrike të krahasueshme me atë të egjiptianëve.[76][77]

Tabela matematikore babilonase Plimpton 322, e datuar në 1800 p.e.s

Dëshmi për matematikë më komplekse nuk shfaqet deri rreth vitit 3000 p.e.s, kur babilonasit dhe egjiptianët filluan të përdornin aritmetikën, algjebrën, dhe gjeometrinë për taksim dhe llogaritje të tjera financiare, për ndërtim, dhe për astronomi.[78] Tekstet më të vjetra matematikore nga Mesopotamia dhe Egjipti janë nga 2000 deri 1800 p.e.s.[79] Shumë tekste të hershme përmendin trefisha pitagorikë, dhe kështu, me inferencë, teorema e Pitagorës duket të jetë koncepti matematikor më i lashtë dhe më i përhapur pas aritmetikës dhe gjeometrisë bazë. Është në matematikën babilonase që aritmetika elementare (mbledhja, zbritja, shumëzimi, dhe pjesëtimi) shfaqet për herë të parë në regjistrimin arkeologjik. Babilonasit gjithashtu posedonin një sistem me vlerë-pozicion dhe përdorën një sistem numerik seksagjimal, ende në përdorim sot për matjen e këndeve dhe kohës.[80]

Deri në shekullin V p.e.s, matematika greke filloi të shfaqej si disiplinë e veçantë dhe disa grekë të lashtë, si pitagorianët, dukej se e konsideronin një subjekt më vete.[81] Rreth vitit 300 p.e.s, Euklidi organizoi njohuritë matematikore përmes postulateve dhe parimeve të para, të cilat evoluuan në metodën aksiomatike të përdorur sot në matematikë, e përbërë nga përkufizimi, aksioma, teorema, dhe prova.[82] Libri i tij, Elementet, mbulon gjeometrinë dhe teorinë e numrave dhe konsiderohet gjerësisht teksti shkollor më i suksesshëm dhe me ndikim i të gjitha kohërave.[83] Një tjetër matematikan i njohur i lashtësisë është Arkimedi nga Siraku­za (rr. 287 – rr. 212 p.e.s).[84] Ai zhvilloi metoda për llogaritjen e sipërfaqes dhe vëllimit të trupave të rrotullimit, duke përdorur mes tjerash metodën e shterimit për të llogaritur sipërfaqen nën harkun e një parabole me shumëzimin e një serie të pafundme, në një mënyrë kujtuese për llogaritjen infinitezimale moderne.[85] Arritje të tjera të njohura të matematikës greke janë prerjet konike (Apoloni i Pergës, shekulli III p.e.s),[86] trigonometria (Hiparku i Nikeas, shekulli II p.e.s),[87] dhe fillimet e algjebrës paramoderne (Diofanti, shekulli III e.s).[88]

Numëratorët e përdorur në dorëshkrimin Bakhshali, datuar mes shekullit II p.e.s dhe shekullit II e.s

Sistemi numerik indo-arab dhe rregullat për përdorimin e veprimeve të tij, në përdorim në mbarë botën sot, evoluan gjatë mijëvjeçarit të parë e.s në Indi dhe u transmetuan në botën perëndimore përmes matematikës islame.[89] Zhvillime të tjera të njohura të matematikës indiane përfshijnë përkufizimin dhe përafrimin modern të sinusit dhe kosinusit, dhe një formë të hershme të serisë së pafundme.[90]

Mesjeta dhe më vonë

Një faqe nga Al-Jabr e al-Khwarizmi-t

Gjatë Epokës së Artë Islame, veçanërisht gjatë shekujve IX dhe X, matematika pa shumë inovacione të rëndësishme që ndërtonin mbi matematikën greke. Arritja më e njohur e matematikës islame ishte zhvillimi i algjebrës. Arritje të tjera të periudhës islame përfshijnë përparime në trigonometrinë sferike dhe shtimin e pikës dhjetore te sistemi numerik arab.[91] Shumë matematikanë të njohur nga kjo periudhë ishin persianë, si al-Khwarizmi, Omar Khajami, dhe Sharaf al-Din al-Tusi.[92] Tekstet matematikore greke dhe arabe u përkthyen nga ana e tyre në latinisht gjatë Mesjetës dhe u bënë të disponueshme në Evropë.[93]

Gjatë periudhës së hershme moderne, matematika filloi të zhvillohej me ritëm në rritje në Evropën Perëndimore, me inovacione që revolucionarizuan matematikën, si futja e variablave dhe notacionit simbolik i atribuar François Viète-së (1540–1603),[94] futja e logaritmeve nga John Napier në 1614,[95] gjë që thjeshtoi ndjeshëm llogaritjet numerike, veçanërisht për astronominë dhe lundrimin detar, futja e koordinatave karteziane nga René Descartes (1596–1650) për reduktimin e gjeometrisë në algjebër,[96] dhe zhvillimi i llogaritjes infinitezimale nga Isaac Newton (1643–1727) dhe Gottfried Leibniz (1646–1716).[97] Leonhard Euler (1707–1783) i unifikoi dhe i ndërtoi mbi këto inovacione me terminologji të standardizuar, dhe i plotësoi me zbulimin dhe provat e teoremave të shumta.[98]

Carl Friedrich Gauss

Ndoshta matematikani më i shquar i shekullit XIX ishte matematikani gjerman Carl Gauss, i cili dha kontribute të shumta në fusha si algjebra, analiza, gjeometria diferenciale, teoria e matricave, teoria e numrave, dhe statistika.[99] Në fillim të shekullit XX, Kurt Gödel e transformoi matematikën duke botuar teoremat e tij të paplotësisë, të cilat tregojnë pjesërisht se çdo sistem aksiomatik i qëndrueshëm – nëse është mjaftueshëm i fuqishëm për të përshkruar aritmetikën – do të përmbajë propozime të vërteta që nuk mund të vërtetohen.[57]

Matematika që atëherë është zgjeruar shumë, dhe ka pasur një ndërveprim frytdhënës mes matematikës dhe shkencës, në dobi të të dyjave. Zbulimet matematikore vazhdojnë të bëhen deri në ditët e sotme. Sipas Mikhail B. Sevryuk, në numrin e janarit 2006 të Bulletin of the American Mathematical Society, "Numri i punimeve dhe librave të përfshirë në bazën e të dhënave Mathematical Reviews (MR) që nga 1940 (viti i parë i funksionimit të MR) tani është më shumë se 1,9 milionë, dhe më shumë se 75 mijë artikuj shtohen në bazën e të dhënave çdo vit. Shumica dërrmuese e punimeve në këtë oqean përmbajnë teorema të reja matematikore dhe provat e tyre."[100]

Notacioni simbolik dhe terminologjia

Një shpjegim i notacionit të mbledhjes sigma (Σ)

Notacioni matematikor përdoret gjerësisht në shkencë dhe inxhinieri për të përfaqësuar koncepte dhe veti komplekse në mënyrë koncize, të paqartë, dhe të saktë. Ky notacion përbëhet nga simbole të përdorura për të përfaqësuar veprime, numra të papërcaktuar, marrëdhënie, dhe çdo objekt tjetër matematikor, dhe pastaj duke i bashkuar në shprehje dhe formula.[101] Më saktë, numrat dhe objektet e tjera matematikore përfaqësohen nga simbole të quajtura variabla, të cilat përgjithësisht janë shkronja latine ose greke, dhe shpesh përfshijnë indekse. Veprimet dhe marrëdhëniet përfaqësohen përgjithësisht nga simbole ose glife specifike,[102] si + (plus), × (shumëzim), (integral), = (të barabartë), dhe < (më pak se).[103] Të gjitha këto simbole përgjithësisht grupohen sipas rregullave specifike për të formuar shprehje dhe formula.[104] Zakonisht, shprehjet dhe formulat nuk shfaqen vetëm, por përfshihen në fjali të gjuhës aktuale, ku shprehjet luajnë rolin e frazave emërore dhe formulat luajnë rolin e fjalive të nënrenditura.

Matematika ka zhvilluar një terminologji të pasur që mbulon një gamë të gjerë fushash që studiojnë vetitë e objekteve të ndryshme abstrakte, të idealizuara, dhe si ato ndërveprojnë. Bazohet në përkufizime rigoroze që ofrojnë një themel standard për komunikim. Një aksiomë ose postulat është një pohim matematikor që merret si i vërtetë pa nevojën për provë. Nëse një pohim matematikor ende nuk është vërtetuar (ose hedhur poshtë), quhet hamendje. Përmes një serie argumentesh rigoroze që përdorin arsyetim deduktiv, një pohim që vërtetohet i vërtetë bëhet teoremë. Një teoremë e specializuar që përdoret kryesisht për të vërtetuar një teoremë tjetër quhet lemë. Një rast i vërtetuar që përbën pjesë të një gjetjeje më të përgjithshme quhet korolar.[105]

Shumë terma teknikë të përdorur në matematikë janë neologjizma, si polinom dhe homeomorfizëm.[106] Terma të tjerë teknikë janë fjalë të gjuhës së zakonshme që përdoren në një kuptim të saktë që mund të ndryshojë pak nga kuptimi i tyre i zakonshëm. Për shembull, në matematikë, "ose" do të thotë "njëri, tjetri ose të dy", ndërsa, në gjuhën e zakonshme, është ose e paqartë ose do të thotë "njëri ose tjetri por jo të dy" (në matematikë, ky i fundit quhet "ose ekskluziv"). Së fundi, shumë terma matematikorë janë fjalë të zakonshme që përdoren me kuptim krejtësisht të ndryshëm.[107] Kjo mund të çojë në fjali që janë pohime matematikore korrekte dhe të vërteta, por që duken si marrëzi për njerëz që nuk kanë sfondin e kërkuar. Për shembull, "çdo modul i lirë është i sheshtë" dhe "një fushë është gjithmonë një unazë".

Marrëdhënia me shkencat

Matematika përdoret në shumicën e shkencave për modelimin e fenomeneve, gjë që më pas lejon bërjen e parashikimeve nga ligje eksperimentale.[108] Pavarësia e së vërtetës matematikore nga çdo eksperimentim nënkupton se saktësia e parashikimeve të tilla varet vetëm nga përshtatshmëria e modelit.[109] Parashikimet e pasakta, në vend që të shkaktohen nga koncepte të pavlefshme matematikore, nënkuptojnë nevojën për të ndryshuar modelin matematikor të përdorur.[110] Për shembull, precesioni i periheliut të Merkurit mund të shpjegohej vetëm pas shfaqjes së relativitetit të përgjithshëm të Ajnshtajnit, i cili zëvendësoi ligjin e gravitetit të Njutonit si model matematikor më i mirë.[111]

Ekziston ende një debat filozofik nëse matematika është shkencë. Sidoqoftë, në praktikë, matematikanët zakonisht grupohen me shkencëtarët, dhe matematika ka shumë të përbashkëta me shkencat fizike. Ashtu si ato, është e falsifikueshme, çka do të thotë në matematikë se, nëse një rezultat ose teori është e gabuar, kjo mund të vërtetohet duke dhënë një kundërshembull. Ngjashëm si në shkencë, teoritë dhe rezultatet (teoremat) shpesh fitohen nga eksperimentimi.[112] Në matematikë, eksperimentimi mund të përbëhet nga llogaritje mbi shembuj të përzgjedhur ose nga studimi i figurave ose përfaqësimeve të tjera të objekteve matematikore (shpesh përfaqësime mendore pa mbështetje fizike). Për shembull, kur u pyet se si arriti te teoremat e tij, Gaussi një herë u përgjigj "durch planmässiges Tattonieren" (përmes eksperimentimit sistematik).[113] Sidoqoftë, disa autorë theksojnë se matematika ndryshon nga nocioni modern i shkencës duke mos u mbështetur në dëshmi empirike.[114]

Matematika e pastër dhe e aplikuar

Isaac Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Isaac Newton (majtas) dhe Gottfried Wilhelm Leibniz zhvilluan llogaritjen infinitezimale.

Deri në shekullin XIX, nuk kishte dallim të qartë mes matematikës së pastër dhe të aplikuar siç kuptohen sot.[115] Dallimi mes zhvillimit të matematikës për hir të vetes ose për zbatimet e saj ishte mjaft i lëngshëm: numrat natyrorë dhe aritmetika u futën për nevojën e numërimit, dhe gjeometria u motivua nga gjeodezia, arkitektura, dhe astronomia, por të dy subjektet shpejt qëndruan më vete. Më vonë, Isaac Newton përdori llogaritjen infinitezimale pjesërisht për të ndihmuar në shpjegimin e lëvizjes së planetëve dhe ligjit të tij të gravitetit. Për më tepër, që nga antikiteti, shumica e matematikanëve ishin gjithashtu shkencëtarë, dhe shumë shkencëtarë ishin gjithashtu matematikanë.[116] Sidoqoftë, tradita perëndimore e matematikës së pastër i gjurmon rrënjët e saj deri në Greqinë e Lashtë.[117] Problemi i faktorizimit të numrave të plotë, për shembull, i cili i kthehet mbrapsht Euklidit në 300 p.e.s, nuk kishte zbatim praktik para përdorimit të tij në kriptosistemin RSA, tani i përdorur gjerësisht për sigurinë e rrjeteve kompjuterike.[118]

Në shekullin XIX, matematikanë si Karl Weierstrass dhe Richard Dedekind përqendruan gjithnjë e më shumë hulumtimin e tyre te probleme të brendshme, domethënë, matematika e pastër.[115][119] Kjo çoi në ndarjen e matematikës në matematikë të pastër dhe matematikë të aplikuar, kjo e fundit shpesh e konsideruar me vlerë më të ulët mes puristëve matematikorë. Sidoqoftë, kufijtë mes të dyjave janë shpesh të paqartë.[120]

Pasojat e Luftës së Dytë Botërore çuan në një rritje të zhvillimit të matematikës së aplikuar në SHBA dhe gjetkë.[121] Shumë nga teoritë e zhvilluara për zbatime u gjetën interesante nga këndvështrimi i matematikës së pastër, dhe shumë rezultate të matematikës së pastër u treguan se kishin zbatime jashtë matematikës; nga ana tjetër, studimi i këtyre zbatimeve mund të japë njohuri të reja mbi "teorinë e pastër".[122]

Një shembull i rastit të parë është teoria e shpërndarjeve, e futur nga Laurent Schwartz për vërtetimin e llogaritjeve të bëra në mekanikën kuantike, e cila u bë menjëherë një mjet i rëndësishëm i analizës matematikore (të pastër).[123] Një shembull i rastit të dytë është vendimshmëria e teorisë së rendit të parë të numrave realë, një problem i matematikës së pastër që u vërtetua i vërtetë nga Alfred Tarski, me një algoritëm që është i pamundur të zbatohet për shkak të një kompleksiteti llogaritës shumë të lartë.[124] Për të fituar një algoritëm që mund të zbatohet dhe mund të zgjidhë sisteme ekuacionesh dhe pabarazish polinomiale, George Collins futi dekompozimin algjebrik cilindrik që u bë mjet themeltar në gjeometrinë reale algjebrike.[125]

Sot, dallimi mes matematikës së pastër dhe të aplikuar është më shumë çështje e qëllimit personal hulumtues të matematikanëve sesa ndarje e matematikës në fusha të gjera.[126] Klasifikimi i Lëndëve të Matematikës ka një seksion për "matematikë e aplikuar e përgjithshme" por nuk e përmend "matematikën e pastër".[9] Sidoqoftë, këta terma ende përdoren në emrat e disa departamenteve universitare, si te Fakulteti i Matematikës në Universitetin e Kembrixhit.

Efektiviteti i pashpjegueshëm

Efektiviteti i pashpjegueshëm i matematikës është një fenomen që u emërtua dhe u bë i qartë për herë të parë nga fizikani Eugene Wigner.[5] Është fakti se shumë teori matematikore (edhe "më të pastrat") kanë zbatime jashtë objektit të tyre fillestar. Këto zbatime mund të jenë krejtësisht jashtë fushës së tyre fillestare matematikore, dhe mund të kenë të bëjnë me fenomene fizike që ishin krejtësisht të panjohura kur teoria matematikore u fut.[127] Shembuj zbatimesh të papritura të teorive matematikore mund të gjenden në shumë fusha të matematikës.

Një shembull i njohur është faktorizimi i thjeshtë i numrave natyrorë, i zbuluar më shumë se 2.000 vjet para përdorimit të tij të zakonshëm për komunikime të sigurta interneti përmes kriptosistemit RSA.[128] Një shembull i dytë historik është teoria e elipsave. Ato u studiuan nga matematikanët e lashtë grekë si prerje konike (domethënë, prerje konesh me plane). Ishin pothuajse 2.000 vjet më vonë që Johannes Kepler zbuloi se trajektoret e planetëve janë elipsa.[129]

Në shekullin XIX, zhvillimi i brendshëm i gjeometrisë (matematika e pastër) çoi në përkufizimin dhe studimin e gjeometrive joeuklidiane, hapësirave me dimension më të lartë se tre, dhe shumësive. Në atë kohë, këto koncepte dukeshin krejtësisht të shkëputura nga realiteti fizik, por në fillim të shekullit XX, Albert Ajnshtajni zhvilloi teorinë e relativitetit që përdor thelbësisht këto koncepte. Në veçanti, hapësirë-koha e relativitetit special është një hapësirë joeuklidiane me dimension katër, dhe hapësirë-koha e relativitetit të përgjithshëm është një shumësi (i lakuar) me dimension katër.[130]

Një aspekt mbresëlënës i ndërveprimit mes matematikës dhe fizikës është kur matematika drejton hulumtimin në fizikë. Kjo ilustrohet nga zbulimet e pozitronit dhe barionit Në të dyja rastet, ekuacionet e teorive kishin zgjidhje të pashpjeguara, gjë që çoi në hamendjen e ekzistencës së një grimce të panjohur, dhe kërkimin për këto grimca. Në të dyja rastet, këto grimca u zbuluan disa vjet më vonë nga eksperimente specifike.[131][132]

Shkenca specifike

Fizika

Diagram i një lavjerrësi

Matematika dhe fizika kanë ndikuar njëra-tjetrën gjatë gjithë historisë së tyre moderne. Fizika moderne përdor matematikën gjerësisht,[133] dhe konsiderohet gjithashtu të jetë motivimi i zhvillimeve të mëdha matematikore.[134]

Llogaritja kompjuterike

Llogaritja kompjuterike lidhet ngushtë me matematikën në disa mënyra.[135] Shkenca kompjuterike teorike konsiderohet të jetë matematikore në natyrë.[136] Teknologjitë e komunikimit zbatojnë degë të matematikës që mund të jenë shumë të vjetra (p.sh., aritmetika), veçanërisht në lidhje me sigurinë e transmetimit, në kriptografi dhe teorinë e kodimit. Matematika diskrete është e dobishme në shumë fusha të shkencës kompjuterike, si teoria e kompleksitetit, teoria e informacionit, dhe teoria e grafeve.[137] Në 1998, hamendja e Keplerit mbi paketimin e sferave dukej gjithashtu pjesërisht e vërtetuar nga kompjuteri.[138]

Statistika dhe shkencat e tjera të vendimmarrjes

Cilido qoftë forma e një shpërndarjeje popullate të rastësishme (μ), mesatarja e mostrimit (x̄) tenton drejt një shpërndarjeje gausiane dhe varianca e saj (σ) jepet nga teorema qendrore e limitit e teorisë së probabilitetit.[139]

Fusha e statistikës është një zbatim matematikor që përdoret për mbledhjen dhe përpunimin e mostrave të të dhënave, duke përdorur procedura bazuar në metoda matematikore si, dhe veçanërisht, teoria e probabilitetit. Statisticienët gjenerojnë të dhëna me mostrim të rastësishëm ose eksperimente të randomizuara.[140]

Teoria statistikore studion probleme vendimi, si minimizimi i riskut (humbjes së pritur) të një veprimi statistikor, si përdorimi i një procedure në, për shembull, vlerësimin e parametrave, testimin e hipotezave, dhe përzgjedhjen e më të mirit. Në këto fusha tradicionale të statistikës matematikore, një problem vendim-statistikor formulohet duke minimizuar një funksion objektiv, si humbja e pritur ose kostoja, nën kufizime specifike. Për shembull, projektimi i një sondazhi shpesh përfshin minimizimin e kostos së vlerësimit të një mesatareje popullate me një nivel të dhënë besueshmërie.[141] Për shkak të përdorimit të saj të optimizimit, teoria matematikore e statistikës mbivendoset me shkenca të tjera vendimi, si hulumtimi i operacioneve, teoria e kontrollit, dhe ekonomia matematikore.[142]

Biologjia dhe kimia

Lëkura e këtij fugu gjigant shfaq një model Turing, i cili mund të modelohet me sisteme reaksion–difuzion.

Biologjia përdor probabilitetin gjerësisht në fusha si ekologjia ose neurobiologjia.[143] Shumica e diskutimeve mbi probabilitetin përqendrohen te koncepti i përshtatshmërisë evolucionare.[143] Ekologjia përdor intensivisht modelimin për të simuluar dinamikat e popullatës,[143] për të studiuar ekosisteme si modeli gjahtar-pré, për të matur difuzionin e ndotjes,[144] ose për të vlerësuar ndryshimet klimatike.[145] Dinamika e një popullate mund të modelohet nga ekuacione diferenciale të lidhura, si ekuacionet Lotka–Volterra.[146]

Testimi i hipotezave statistikore kryhet mbi të dhëna nga provat klinike për të përcaktuar nëse një trajtim i ri funksionon.[147] Që nga fillimi i shekullit XX, kimia ka përdorur llogaritjen kompjuterike për të modeluar molekula në tri dimensione.[148]

Shkencat e Tokës

Gjeologjia strukturore dhe klimatologjia përdorin modele probabilistike për të parashikuar rrezikun e katastrofave natyrore.[149] Ngjashëm, meteorologjia, oqeanografia, dhe planetologjia gjithashtu përdorin matematikën për shkak të përdorimit të tyre të dendur të modeleve.[150]

Shkencat shoqërore

Fusha të matematikës të përdorura në shkencat shoqërore përfshijnë probabilitetin/statistikën dhe ekuacionet diferenciale. Këto përdoren në gjuhësi, ekonomi, sociologji,[151] dhe psikologji.[152]

Kurbat e ofertës dhe kërkesës, si kjo këtu, janë një element themelor i ekonomisë matematikore.

Shpesh postulati themeltar i ekonomisë matematikore është ai i aktorit individual racional – Homo economicus ("njeriu ekonomik").[153] Në këtë model, individi kërkon të maksimizojë interesin e tij vetjak,[153] dhe gjithmonë bën zgjedhje optimale duke përdorur informacion të përsosur.[154] Kjo pikëpamje atomiste e ekonomisë i lejon asaj ta matematizojë relativisht lehtë të menduarit e saj, sepse llogaritjet individuale transpozohen në llogaritje matematikore. Modelimi i tillë matematikor lejon dikë të sondojë mekanizmat ekonomikë. Disa e refuzojnë ose e kritikojnë konceptin e Homo economicus-it. Ekonomistët vërejnë se njerëzit e vërtetë kanë informacion të kufizuar, bëjnë zgjedhje të dobëta, dhe kujdesen për drejtësinë dhe altruizmin, jo vetëm fitimin personal.[155]

Pa modelimin matematikor, është e vështirë të shkohet përtej vëzhgimeve statistikore ose spekulimeve të patestueshme. Modelimi matematikor u lejon ekonomistëve të krijojnë kuadro të strukturuara për të testuar hipoteza dhe për të analizuar ndërveprime komplekse. Modelet ofrojnë qartësi dhe saktësi, duke mundësuar përkthimin e koncepteve teorike në parashikime të matshme që mund të testohen kundrejt të dhënave të botës reale.[156]

Në fillim të shekullit XX, pati një zhvillim për të shprehur lëvizjet historike në formula. Në 1922, Nikolai Kondratiev dalloi ciklin ~50-vjeçar Kondratiev, i cili shpjegon faza rritjeje ose krize ekonomike.[157] Drejt fundit të shekullit XIX, matematikanët e zgjeruan analizën e tyre në gjeopolitikë.[158] Peter Turchin zhvilloi kliodinamikën në vitet 1990.[159]

Matematizimi i shkencave shoqërore nuk është pa rrezik. Në librin kontrovers Fashionable Nonsense (1997), Sokal dhe Bricmont denoncuan përdorimin e pabazuar ose abuziv të terminologjisë shkencore, veçanërisht nga matematika ose fizika, në shkencat shoqërore.[160] Studimi i sistemeve komplekse (evolucioni i papunësisë, kapitali i biznesit, evolucioni demografik i një popullate, etj.) përdor njohuri matematikore. Sidoqoftë, zgjedhja e kritereve të numërimit, veçanërisht për papunësinë, ose e modeleve, mund të jetë subjekt kontroverse.[161]

Filozofia

Realiteti

Lidhja mes matematikës dhe realitetit material ka çuar në debate filozofike që nga të paktën koha e Pitagorës. Filozofi i lashtë Platoni argumentoi se abstraksionet që pasqyrojnë realitetin material kanë vetë një realitet që ekziston jashtë hapësirës dhe kohës. Si rezultat, pikëpamja filozofike se objektet matematikore disi ekzistojnë vetë në abstraksion shpesh quhet platonizëm. Pavarësisht nga mendimet e tyre të mundshme filozofike, matematikanët modernë përgjithësisht mund të konsiderohen platonistë, pasi ata mendojnë dhe flasin për objektet e tyre të studimit si objekte reale.[162]

Armand Borel e përmblodhi këtë pikëpamje të realitetit matematikor si më poshtë, dhe ofroi citate nga G. H. Hardy, Charles Hermite, Henri Poincaré, dhe Albert Ajnshtajni që mbështesin pikëpamjet e tij.[131]

Diçka bëhet objektive (në kundërshtim me "subjektive") sapo të bindemi se ekziston në mendjet e të tjerëve në të njëjtën formë siç ekziston në tonat dhe se mund të mendojmë për të dhe ta diskutojmë së bashku.[163] Meqë gjuha e matematikës është kaq e saktë, është idealisht e përshtatshme për të përkufizuar koncepte për të cilat ekziston një konsensus i tillë. Sipas mendimit tim, kjo mjafton për të na dhënë një ndjesi të ekzistencës objektive, të një realiteti të matematikës ...

Sidoqoftë, platonizmi dhe pikëpamjet konkurruese mbi abstraksionin nuk e shpjegojnë efektivitetin e pashpjegueshëm të matematikës (pasi platonizmi supozon se matematika ekziston në mënyrë të pavarur, por nuk shpjegon pse përputhet me realitetin).[164]

Përkufizimet e propozuara

Nuk ka konsensus të përgjithshëm mbi përkufizimin e matematikës ose statusin e saj epistemologjik – domethënë, vendin e saj brenda njohurisë. Shumë matematikanë profesionistë nuk tregojnë interes për një përkufizim të matematikës, ose e konsiderojnë të papërkufizueshme. Nuk ka as konsensus mbi faktin nëse matematika është art apo shkencë. Disa thjesht thonë, "matematika është ajo që bëjnë matematikanët".[165][166] Një qasje e zakonshme është përkufizimi i matematikës sipas objektit të saj të studimit.[167][168][169]

Aristoteli e përkufizoi matematikën si "shkencën e sasisë" dhe ky përkufizim mbizotëroi deri në shekullin XVIII. Sidoqoftë, Aristoteli vuri në dukje gjithashtu se fokusimi vetëm te sasia mund të mos e dallojë matematikën nga shkenca si fizika; sipas tij, abstraksioni dhe studimi i sasisë si veti "e ndashme në mendim" nga rastet reale e dallonte matematikën.[170] Në shekullin XIX, kur matematikanët filluan të trajtonin tema – si bashkësitë e pafundme – që nuk kanë marrëdhënie të qartë me realitetin fizik, u dhanë një shumëllojshmëri përkufizimesh të reja.[171] Me numrin e madh të fushave të reja të matematikës që janë shfaqur që nga fillimi i shekullit XX, përkufizimi i matematikës sipas objektit të saj të studimit është bërë gjithnjë e më i vështirë.[172] Për shembull, në vend të një përkufizimi, Saunders Mac Lane në Mathematics, form and function përmbledh bazat e disa fushave të matematikës, duke theksuar ndërlidhjen e tyre, dhe vëren:[173]

zhvillimi i matematikës ofron një rrjet të lidhur ngushtë rregullash, konceptesh, dhe sistemesh formale. Nyjet e këtij rrjeti janë të lidhura ngushtë me procedura të dobishme në aktivitetet njerëzore dhe me pyetje që dalin në shkencë. Kalimi nga aktivitetet te sistemet formale matematikore udhëhiqet nga një shumëllojshmëri njohurish dhe idesh të përgjithshme.

Një qasje tjetër për të përkufizuar matematikën është përdorimi i metodave të saj. Për shembull, një fushë studimi shpesh kualifikohet si matematikë sapo dikush mund të vërtetojë teorema – pohime vlefshmëria e të cilave mbështetet në një provë, domethënë, një deduksion thjesht logjik.[d][174]

Rigoroziteti

Arsyetimi matematikor kërkon rigorozitet. Kjo do të thotë se përkufizimet duhet të jenë absolutisht të pamëdyshta dhe provat duhet të jenë të reduktueshme në një sukcesion zbatimesh të rregullave të inferencës,[e] pa asnjë përdorim të dëshmisë empirike dhe intuitës.[f][175] Arsyetimi rigoroz nuk është specifik për matematikën, por, në matematikë, standardi i rigorozitetit është shumë më i lartë sesa gjetkë. Pavarësisht koncizitetit të matematikës, provat rigoroze mund të kërkojnë qindra faqe për t'u shprehur, si teorema Feit–Thompson prej 255 faqesh.[g] Shfaqja e provave me ndihmën e kompjuterit ka lejuar gjatësinë e provave të zgjerohet më tej.[h][176] Rezultati i kësaj prirjeje është një filozofi e provës kuazi-empiriciste që nuk mund të konsiderohet e pagabueshme, por ka një probabilitet të lidhur me të.[8]

Koncepti i rigorozitetit në matematikë daton në Greqinë e lashtë, ku shoqëria e tyre inkurajonte arsyetim logjik, deduktiv. Sidoqoftë, kjo qasje rigoroze tenderonte të dekurajonte eksplorimin e qasjeve të reja, si numrat irracionalë dhe konceptet e pafundësisë. Metoda e demonstrimit të provës rigoroze u përmirësua në shekullin XVI përmes përdorimit të notacionit simbolik. Në shekullin XVIII, tranzicioni social çoi në atë që matematikanët të fitonin jetesën përmes mësimdhënies, gjë që çoi në mendim më të kujdesshëm rreth koncepteve themelore të matematikës. Kjo prodhoi qasje më rigoroze, ndërsa kalohej nga metodat gjeometrike te provat algjebrike dhe pastaj aritmetikore.[8]

Në fund të shekullit XIX, u duk se përkufizimet e koncepteve bazë të matematikës nuk ishin mjaft të sakta për të shmangur paradokset (gjeometritë joeuklidiane dhe funksioni Weierstrass) dhe kontradiktat (paradoksi i Russell-it). Kjo u zgjidh me përfshirjen e aksiomave me rregullat apodiktike të inferencës të teorive matematikore; rifutja e metodës aksiomatike e nisur nga grekët e lashtë.[8] Rezulton se "rigoroziteti" nuk është më koncept relevant në matematikë, pasi një provë ose është korrekte ose e gabuar, dhe një "provë rigoroze" është thjesht një pleonazëm. Aty ku hyn në lojë një koncept i veçantë rigoroziteti është në aspektet e socializuara të një prove, ku ajo mund të hidhet poshtë në mënyrë të demonstrueshme nga matematikanë të tjerë. Pasi një provë është pranuar për shumë vite ose madje dekada, atëherë mund të konsiderohet e besueshme.[177]

Sidoqoftë, koncepti i "rigorozitetit" mund të mbetet i dobishëm për t'u mësuar fillestarëve se çfarë është një provë matematikore.[178]

Trajnimi dhe praktika

Arsimi

Matematika ka një aftësi të jashtëzakonshme për të kapërcyer kufijtë kulturorë dhe periudhat kohore. Si aktivitet njerëzor, praktika e matematikës ka një anë sociale, e cila përfshin arsimin, karrierat, njohjen, popullarizimin, e kështu me radhë. Në arsim, matematika është një pjesë thelbësore e kurrikulës dhe formon një element të rëndësishëm të disiplinave akademike STEM. Karriera të spikatura për matematikanët profesionistë përfshijnë mësues ose profesor matematike, statisticien, aktuar, analist financiar, ekonomist, kontabilist, tregtar mallrash, ose konsulent teknologjie informacioni.[179]

Dëshmi arkeologjike tregojnë se instruksioni në matematikë ndodhi që në mijëvjeçarin e dytë p.e.s në Babiloninë e lashtë.[180] Dëshmi e krahasueshme është zbuluar për trajnimin e shkrimtarëve në matematikë në Lindjen e Afërme të lashtë dhe më pas për botën greko-romake duke filluar rreth 300 p.e.s.[181] Teksti shkollor më i vjetër i njohur i matematikës është papirusi Rhind, i datuar rreth 1650 p.e.s në Egjipt.[182] Për shkak të pakicës së librave, mësimet matematikore në Indinë e lashtë komunikoheshin duke përdorur traditë gojore të memorizuar që nga periudha vedike (rreth 1500–500 p.e.s).[183] Në Kinën Perandorake gjatë Dinastisë Tang (618–907 e.s), një kurrikulë matematike u miratua për provimin e shërbimit civil për t'iu bashkuar burokracisë shtetërore.[184]

Pas Epokave të Errëta, arsimi matematikor në Evropë u ofrua nga shkollat fetare si pjesë e Quadrivium-it. Revista më e vjetër që trajtonte instruksionin në matematikë ishte L'Enseignement Mathématique, e cila filloi botimin në 1899.[185] Përparimet perëndimore në shkencë dhe teknologji çuan në krijimin e sistemeve arsimore të centralizuara në shumë shtete-kombe, me matematikën si përbërës themelor – fillimisht për zbatimet e saj ushtarake.[186] Ndërsa përmbajtja e kurseve ndryshon, sot pothuajse të gjitha vendet ua mësojnë matematikën nxënësve për sasi të konsiderueshme kohe.[187]

Gjatë shkollimit, aftësitë matematikore dhe pritjet pozitive kanë një lidhje të fortë me interesin për karrierë në fushë. Faktorë ekstrinsekë si motivimi përmes reagimeve nga mësuesit, prindërit, dhe grupet e bashkëmoshatarëve mund të ndikojnë nivelin e interesit për matematikën.[188] Disa nxënës që studiojnë matematikë mund të zhvillojnë frikë ose ankth rreth performancës së tyre në lëndë. Kjo njihet si ankthi matematikor, dhe konsiderohet më i shquari i çrregullimeve që ndikojnë performancën akademike. Ankthi matematikor mund të zhvillohet për shkak të faktorëve të ndryshëm, si qëndrimet prindërore dhe të mësuesve, stereotipet sociale, dhe tiparet personale. Ndihma për ta kundërshtuar ankthin mund të vijë nga ndryshime në qasjet mësimore, përmes ndërveprimeve me prindër dhe mësues, dhe përmes trajtimeve të përshtatura për individin.[189]

Psikologjia (estetika, kreativiteti, dhe intuita)

Vlefshmëria e një teoreme matematikore mbështetet vetëm te rigoroziteti i provës së saj, çka teorikisht mund të bëhej automatikisht nga një program kompjuterik. Kjo nuk do të thotë se nuk ka vend për kreativitet në punën matematikore. Përkundrazi, shumë rezultate të rëndësishme matematikore (teorema) janë zgjidhje problemesh që matematikanë të tjerë dështuan t'i zgjidhnin, dhe shpikja e një mënyre për t'i zgjidhur mund të jetë një mënyrë themeltare e procesit të zgjidhjes.[190] Një shembull ekstrem është teorema e Apery-t: Roger Apery ofroi vetëm idetë për një provë, dhe prova formale u dha vetëm disa muaj më vonë nga tre matematikanë të tjerë.[191]

Kreativiteti dhe rigoroziteti nuk janë aspektet e vetme psikologjike të aktivitetit të matematikanëve. Disa matematikanë mund ta shohin aktivitetin e tyre si lojë, më konkretisht si zgjidhje enigmash.[192] Ky aspekt i aktivitetit matematikor theksohet në matematikën argëtuese.

Matematikanët mund të gjejnë një vlerë estetike te matematika. Ashtu si bukuria, është e vështirë të përkufizohet, zakonisht lidhet me elegancën, e cila përfshin cilësi si thjeshtësia, simetria, plotësia, dhe përgjithësimi. G. H. Hardy në A Mathematician's Apology shprehu besimin se konsideratat estetike, në vetvete, mjaftojnë për të justifikuar studimin e matematikës së pastër. Ai identifikoi gjithashtu kritere të tjera, si rëndësia, papritshmëria, dhe pashmangshmëria, të cilat kontribuojnë në estetikën matematikore.[193] Paul Erdős e shprehu këtë ndjenjë më ironikisht duke folur për "Librin", një koleksion i supozuar hyjnor i provave më të bukura. Libri i vitit 1998, Proofs from THE BOOK, i frymëzuar nga Erdős, është një koleksion argumentesh matematikore veçanërisht koncize dhe zbuluese. Disa shembuj rezultatesh veçanërisht elegante të përfshira janë prova e Euklidit se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë dhe transformimi i shpejtë Furie për analizën harmonike.[194]

Disa e ndiejnë se konsiderimi i matematikës si shkencë e nënvlerëson artin dhe historinë e saj në shtatë artet liberale tradicionale.[195] Një mënyrë si ky dallim pikëpamjesh shfaqet është në debatin filozofik se nëse rezultatet matematikore krijohen (si në art) ose zbulohen (si në shkencë).[131] Popullariteti i matematikës argëtuese është një tjetër shenjë e kënaqësisë që shumë njerëz gjejnë në zgjidhjen e pyetjeve matematikore.

Ndikimi kulturor

Shprehja artistike

Notat që tingëllojnë mirë së bashku për një vesh perëndimor janë tinguj frekuencat themeltare të vibrimit të të cilëve janë në raporte të thjeshta. Për shembull, një oktavë e dyfishon frekuencën dhe një kuintë e përsosur e shumëzon me .[196]

Fraktal me simetri shkallëzimi dhe simetri qendrore

Njerëzit, si dhe disa kafshë të tjera, i gjejnë modelet simetrike më të bukura.[197] Matematikisht, simetritë e një objekti formojnë një grup të njohur si grupi i simetrisë.[198] Për shembull, grupi që qëndron pas simetrisë pasqyrë është grupi ciklik me dy elemente, . Një test Rorschach është një figurë e pandryshueshme nën këtë simetri,[199] ashtu si trupat e fluturave dhe kafshëve më gjerësisht (të paktën në sipërfaqe).[200] Valët në sipërfaqen e detit posedojnë simetri translacioni: lëvizja e këndvështrimit të dikujt me distancën mes kreshtave të valëve nuk e ndryshon pamjen e detit.[201] Fraktalet posedojnë vetë-ngjashmëri.[202]

Popullarizimi

Matematika popullore është akti i paraqitjes së matematikës pa terma teknikë.[203] Paraqitja e matematikës mund të jetë e vështirë pasi publiku i gjerë vuan nga ankthi matematikor dhe objektet matematikore janë shumë abstrakte.[204] Sidoqoftë, shkrimi matematikor popullor mund ta kapërcejë këtë duke përdorur zbatime ose lidhje kulturore.[205] Pavarësisht kësaj, matematika rrallë është tema e popullarizimit në median e shkruar ose televizive.

Çmimet dhe problemet me çmim

Ana e përparme e Medaljes Fields me një ilustrim të polimatit grek Arkimedi

Çmimi më prestigjioz në matematikë është Medalja Fields,[206][207] themeluar nga kanadezi John Charles Fields në 1936 dhe dhënë çdo katër vite (përveç rreth Luftës së Dytë Botërore) deri katër individëve.[208][209] Konsiderohet ekuivalenti matematikor i Çmimit Nobel.[209]

Çmime të tjera prestigjioze matematike përfshijnë:[210]

  • Çmimin Abel, i themeluar në 2002[211] dhe dhënë për herë të parë në 2003[212]
  • Medaljen Chern për arritje jetësore, e futur në 2009[213] dhe dhënë për herë të parë në 2010[214]
  • Çmimin AMS Leroy P. Steele, i dhënë që nga 1970[215]
  • Çmimin Wolf në Matematikë, gjithashtu për arritje jetësore,[216] i themeluar në 1978[217]

Një listë e njohur prej 23 problemesh të hapura, të quajtura "Problemet e Hilbertit", u përpilua në 1900 nga matematikani gjerman David Hilbert.[218] Kjo listë ka arritur famë të madhe mes matematikanëve,[219] dhe të paktën trembëdhjetë nga problemet (në varësi si interpretohen disa) janë zgjidhur.[218]

Një listë e re prej shtatë problemeve të rëndësishme, e titulluar "Problemet e Çmimit të Mijëvjeçarit", u botua në 2000. Vetëm një prej tyre, hipoteza e Riemann-it, dyfishon një nga problemet e Hilbertit. Zgjidhja e cilitdo prej këtyre problemeve mban një shpërblim prej 1 milion dollarësh.[220] Deri më sot, vetëm një nga këto probleme, hamendja e Poincaré-së, është zgjidhur, nga matematikani rus Grigori Perelman.[221]

Shiko gjithashtu

  • Ligji (matematikë)
  • Lista e zhargonit matematikor
  • Lista e matematikanëve
  • Lista e librave të matematikës
  • Lista e revistave matematikore
  • Listat e temave matematikore
  • Konstante matematikore
  • Shkencat matematikore
  • Matematika dhe arti
  • Arsimi matematikor
  • Filozofia e matematikës
  • Marrëdhënia mes matematikës dhe fizikës
  • Shkenca, teknologjia, inxhinieria, dhe matematika

Shënime

  1. ↑ Këtu, algjebra merret në kuptimin e saj modern, që është, afërsisht, arti i manipulimit të formulave.
  2. ↑ Kjo përfshin prerjet konike, të cilat janë prerje të cilindrave rrethorë dhe planeve.
  3. ↑ Sidoqoftë, disa metoda të avancuara analize përdoren ndonjëherë; për shembull, metoda të analizës komplekse të zbatuara për seri gjeneruese.
  4. ↑ Për shembull, logjika i përket filozofisë që nga Aristoteli. Rreth fundit të shekullit XIX, kriza themeltare e matematikës nënkuptoi zhvillime të logjikës specifike për matematikën. Kjo lejoi përfundimisht provën e teoremave si teoremat e Gödel-it. Që atëherë, logjika matematikore zakonisht konsiderohet një fushë e matematikës.
  5. ↑ Kjo nuk do të thotë të bëhen eksplicite të gjitha rregullat e inferencës që përdoren. Përkundrazi, kjo është përgjithësisht e pamundur, pa kompjuterë dhe asistentë prove. Edhe me këtë teknologji moderne, mund të duhen vite pune njerëzore për të shkruar një provë plotësisht të detajuar.
  6. ↑ Kjo nuk do të thotë se dëshmia empirike dhe intuita nuk nevojiten për zgjedhjen e teoremave që duhen vërtetuar dhe për t'i vërtetuar ato.
  7. ↑ Kjo është gjatësia e punimit origjinal që nuk përmban provat e disa rezultateve ndihmëse të botuara më parë. Libri i dedikuar provës së plotë ka më shumë se 1.000 faqe.
  8. ↑ Për ta konsideruar të besueshme një llogaritje të madhe që ndodh në një provë, zakonisht kërkohen dy llogaritje duke përdorur softuer të pavarur

Referime

Referime

  1. ↑ Herbert M. Sauro, "The Beginning", Euclid's Elements (në anglisht)
  2. ↑ Frank J. Swetz (2019), Mathematical Treasure: Adelard's Translation of Euclid's Elements (në anglisht), arkivuar nga origjinali më 14 qershor 2026, marrë më 31 gusht 2026
  3. ↑ Hipólito, Inês Viegas (gusht 9–15, 2015). "Abstract Cognition and the Nature of Mathematical Proof". Realismus – Relativismus – Konstruktivismus: Beiträge des 38. Internationalen Wittgenstein Symposiums (në gjermanisht dhe anglisht). Vëll. 23. Kirchberg am Wechsel, Austria: Austrian Ludwig Wittgenstein Society. fq. 132–134. ISSN 1022-3398.
  4. ↑ Peterson 1988, f. 12.
  5. 1 2 Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". Communications on Pure and Applied Mathematics (në anglisht). 13 (1): 1–14.
  6. ↑ Wise, David. "Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion". The University of Georgia (në anglisht).
  7. ↑ Alexander, Amir (shtator 2011). "The Skeleton in the Closet: Should Historians of Science Care about the History of Mathematics?". Isis (në anglisht). 102 (3): 475–480. doi:10.1086/661620.
  8. 1 2 3 4 5 6 Kleiner, Israel (dhjetor 1991). "Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective". Mathematics Magazine (në anglisht). 64 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 291–314. doi:10.1080/0025570X.1991.11977625. JSTOR 2690647.
  9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 "MSC2020-Mathematics Subject Classification System" (PDF). zbMath (në anglisht). Associate Editors of Mathematical Reviews and zbMATH.
  10. 1 2 Dunne, Edward; Hulek, Klaus (mars 2020). "Mathematics Subject Classification 2020". Notices of the American Mathematical Society (në anglisht). 67 (3): 410–411. doi:10.1090/noti2052.
  11. ↑ Bell, E. T. (1992) [1945]. "General Prospectus". The Development of Mathematics (në anglisht) (bot. 2nd). Dover Publications. fq. 3. ISBN 978-0-486-27239-9.
  12. ↑ Tiwari, Sarju (1992). "A Mirror of Civilization". Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science (në anglisht) (bot. 1st). New Delhi, India: Mittal Publications. fq. 27. ISBN 978-81-7099-404-6.
  13. ↑ Restivo, Sal (1992). "Mathematics from the Ground Up". Mathematics in Society and History. Episteme (në anglisht). Vëll. 20. Kluwer Academic Publishers. fq. 14. ISBN 0-7923-1765-3.
  14. ↑ Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics (në anglisht). Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-031-12322-1. ISBN 978-3-031-12321-4.
  15. ↑ Biggs, N. L. (maj 1979). "The roots of combinatorics". Historia Mathematica (në anglisht). 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
  16. 1 2 Warner, Evan. "Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics" (PDF) (në anglisht). Columbia University. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 22 mars 2023. Marrë më 31 gusht 2026.
  17. ↑ LeVeque, William J. (1977). "Introduction". Fundamentals of Number Theory (në anglisht). Addison-Wesley Publishing Company. fq. 1–30. ISBN 0-201-04287-8.
  18. ↑ Goldman, Jay R. (1998). "The Founding Fathers". The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory (në anglisht). Wellesley, MA: A K Peters. fq. 2–3.
  19. ↑ Weil, André (1983). Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre (në anglisht). Birkhäuser Boston. fq. 2–3. doi:10.1007/978-0-8176-4571-7.
  20. ↑ Kleiner, Israel (mars 2000). "From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem". Elemente der Mathematik (në anglisht). 55 (1): 19–37. doi:10.1007/PL00000079.
  21. ↑ Wang, Yuan (2002). The Goldbach Conjecture (në anglisht) (bot. 2nd). World Scientific. fq. 1–18. doi:10.1142/5096.
  22. 1 2 3 Straume, Eldar (4 shtator 2014). "A Survey of the Development of Geometry up to 1870" (në anglisht). arXiv:1409.1140 [math.HO].
  23. ↑ Hilbert, David (1902). The Foundations of Geometry (në anglisht). Open Court Publishing Company. fq. 1. doi:10.1126/science.16.399.307.
  24. ↑ Hartshorne, Robin (2000). "Euclid's Geometry". Geometry: Euclid and Beyond (në anglisht). Springer New York. fq. 9–13. ISBN 0-387-98650-2.
  25. ↑ Boyer, Carl B. (2004) [1956]. "Fermat and Descartes". History of Analytic Geometry (në anglisht). Dover Publications. fq. 74–102. ISBN 0-486-43832-5.
  26. ↑ Stump, David J. (1997). "Reconstructing the Unity of Mathematics circa 1900". Perspectives on Science (në anglisht). 5 (3): 383–417. doi:10.1162/posc_a_00532.
  27. ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (shkurt 1996). "Non-Euclidean geometry". MacTutor (në anglisht). University of St. Andrews.
  28. ↑ Joyner, David (2008). "The (legal) Rubik's Cube group". Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys (në anglisht) (bot. 2nd). Johns Hopkins University Press. fq. 219–232.
  29. ↑ Christianidis, Jean; Oaks, Jeffrey (maj 2013). "Practicing algebra in late antiquity: The problem-solving of Diophantus of Alexandria". Historia Mathematica (në anglisht). 40 (2): 127–163. doi:10.1016/j.hm.2012.09.001.
  30. ↑ Kleiner 2007, "History of Classical Algebra" pp. 3–5.
  31. ↑ Shane, David (2022). "Figurate Numbers: A Historical Survey of an Ancient Mathematics" (PDF). Methodist University (në anglisht). fq. 20.
  32. ↑ Overbay, Shawn; Schorer, Jimmy; Conger, Heather. "Al-Khwarizmi". University of Kentucky (në anglisht).
  33. ↑ Lim, Lisa (21 dhjetor 2018). "Where the x we use in algebra came from, and the X in Xmas". South China Morning Post (në anglisht).
  34. ↑ Berntjes, Sonja. "Algebra". Encyclopaedia of Islam Online (në anglisht) (bot. 3rd). doi:10.1163/1573-3912_ei3_COM_0030.
  35. ↑ Oaks, Jeffery A. (2018). "François Viète's revolution in algebra". Archive for History of Exact Sciences (në anglisht). 72 (3): 245–302. doi:10.1007/s00407-018-0208-0.
  36. ↑ "Variable in Maths". GeeksforGeeks (në anglisht).
  37. ↑ Kleiner 2007, "History of Linear Algebra" pp. 79–101.
  38. ↑ Corry, Leo (2004). "Emmy Noether: Ideals and Structures". Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures (në anglisht) (bot. 2nd revised). Germany: Birkhäuser Basel. fq. 247–252. ISBN 3-7643-7002-5.
  39. ↑ Riche, Jacques (2007). "From Universal Algebra to Universal Logic". Perspectives on Universal Logic (në anglisht). Milano, Italy: Polimetrica International Scientific Publisher. fq. 3–39.
  40. ↑ Krömer, Ralph (2007). Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory (në anglisht). Germany: Springer Science & Business Media. fq. xxi–xxv, 1–91.
  41. ↑ Guicciardini, Niccolo (2017). "The Newton–Leibniz Calculus Controversy, 1708–1730". The Oxford Handbook of Newton (në anglisht). Oxford University Press. doi:10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9.
  42. ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (shtator 1998). "Leonhard Euler". MacTutor (në anglisht). University of St Andrews.
  43. ↑ "Calculus (Differential and Integral Calculus with Examples)". Byju's (në anglisht).
  44. ↑ Franklin, James (korrik 2017). "Discrete and Continuous: A Fundamental Dichotomy in Mathematics". Journal of Humanistic Mathematics (në anglisht). 7 (2): 355–378. doi:10.5642/jhummath.201702.18.
  45. ↑ Maurer, Stephen B. (1997). "What is Discrete Mathematics? The Many Answers". Discrete Mathematics in the Schools (në anglisht). American Mathematical Society. fq. 121–124. doi:10.1090/dimacs/036/13.
  46. ↑ Hales, Thomas C. (2014). "Turing's Legacy: Developments from Turing's Ideas in Logic". Turing's Legacy (në anglisht). Cambridge University Press. fq. 260–261. doi:10.1017/CBO9781107338579.001.
  47. ↑ Sipser, Michael (korrik 1992). The History and Status of the P versus NP Question. STOC '92 (në anglisht). fq. 603–618. doi:10.1145/129712.129771.
  48. ↑ Ewald, William (17 nëntor 2018). "The Emergence of First-Order Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy (në anglisht).
  49. ↑ Ferreirós, José (18 qershor 2020) [First published April 10, 2007]. "The Early Development of Set Theory". Stanford Encyclopedia of Philosophy (në anglisht).
  50. ↑ Ferreirós, José (dhjetor 2001). "The Road to Modern Logic—An Interpretation". The Bulletin of Symbolic Logic (në anglisht). 7 (4): 441–484. doi:10.2307/2687794. JSTOR 2687794.
  51. ↑ Wolchover, Natalie, red. (26 nëntor 2013). "Dispute over Infinity Divides Mathematicians". Quanta Magazine (në anglisht).
  52. ↑ Zhuang, Chaohui. "Wittgenstein's analysis on Cantor's diagonal argument". PhilArchive (në anglisht).
  53. ↑ Tanswell, Fenner Stanley (2024). Mathematical Rigour and Informal Proof (në anglisht). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781009325110.
  54. ↑ Avigad, Jeremy; Reck, Erich H. (11 dhjetor 2001). ""Clarifying the nature of the infinite": the development of metamathematics and proof theory" (PDF). Carnegie Mellon University (në anglisht).
  55. ↑ Hamilton, Alan G. (1982). "Numbers". Numbers, Sets and Axioms: The Apparatus of Mathematics (në anglisht). Cambridge University Press. fq. 3–4.
  56. ↑ Snapper, Ernst (shtator 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism". Mathematics Magazine (në anglisht). 52 (4): 207–216. doi:10.1080/0025570X.1979.11976784.
  57. 1 2 Raatikainen, Panu (tetor 2005). "On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems". Revue Internationale de Philosophie (në anglisht). 59 (4): 513–534. doi:10.3917/rip.234.0513.
  58. ↑ Moschovakis, Joan (4 shtator 2018). "Intuitionistic Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy (në anglisht).
  59. ↑ McCarty, Charles (2006). "At the Heart of Analysis: Intuitionism and Philosophy". Constructivism: Mathematics, Logic, Philosophy and Linguistics (në anglisht). doi:10.4000/philosophiascientiae.411.
  60. ↑ Halpern, Joseph; Harper, Robert; Immerman, Neil; Kolaitis, Phokion; Vardi, Moshe; Vianu, Victor (janar 2001). "On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science" (PDF). Carnegie Mellon University (në anglisht).
  61. ↑ Marchuk, Gurii Ivanovich (prill 2020). "G I Marchuk's plenary: ICM 1970". MacTutor (në anglisht).
  62. ↑ Johnson, Gary M.; Cavallini, John S. (shtator 1991). Grand Challenges, High Performance Computing, and Computational Science. Singapore Supercomputing Conference'90 (në anglisht). World Scientific. fq. 28.
  63. ↑ Trefethen, Lloyd N. (2008). "Numerical Analysis". The Princeton Companion to Mathematics (në anglisht). Princeton University Press. fq. 604–615.
  64. ↑ Cresswell 2021, § Mathematics; Perisho 1965, f. 64
  65. ↑ Perisho, Margaret W. (pranverë 1965). "The Etymology of Mathematical Terms". Pi Mu Epsilon Journal (në anglisht). 4 (2): 62–66.
  66. ↑ Boas, Ralph P. (1995). "What Augustine Didn't Say About Mathematicians". Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories (në anglisht). Mathematical Association of America. fq. 257.
  67. ↑ The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary, sub "mathematics", "mathematic", "mathematics".
  68. ↑ "Maths (Noun)". Oxford English Dictionary (në anglisht). Oxford University Press.
  69. ↑ "Math (Noun³)". Oxford English Dictionary (në anglisht). Oxford University Press.
  70. ↑ Shih, për shembull, Wilder, Raymond L. (1973). Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study (në anglisht).
  71. ↑ Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts: Number and Pattern in African Culture (në anglisht). Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3.
  72. ↑ Eglash, Ron (1999). African fractals: modern computing and indigenous design (në anglisht). New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press. ISBN 0813526140.
  73. ↑ Eglash, R. (1995). "Fractal Geometry in African Material Culture". Symmetry: Culture and Science (në anglisht). 6–1: 174–177.
  74. ↑ Marshack, A. (1972). The Roots of Civilization: the Cognitive Beginning of Man's First Art, Symbol and Notation. New York: McGraw-Hill.
  75. ↑ Ehret, Christopher (20 qershor 2023). Ancient Africa: A Global History, to 300 CE (në anglisht). Princeton University Press. fq. 107–110. ISBN 978-0-691-24410-5.
  76. ↑ Armelagos, George (2000). "Take Two Beers and Call Me in 1,600 Years: Use of Tetracycline by Nubians and Ancient Egyptians". Natural History (në anglisht). 109 (5): 50–3.
  77. ↑ Depuydt, Leo (1 janar 1998). "Gnomons at Meroë and Early Trigonometry". The Journal of Egyptian Archaeology (në anglisht). 84: 171–180. doi:10.2307/3822211.
  78. ↑ Kline 1990, Chapter 1.
  79. ↑ Joseph, George Gheverghese (2011). "The Beginnings of Written Mathematics: Mesopotamia". The Crest of the Peacock (në anglisht). fq. 125–176. doi:10.1515/9781400836369-006.
  80. ↑ Boyer 1991, "Mesopotamia" pp. 24–27.
  81. ↑ Heath, Thomas Little (1981) [1921]. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid (në anglisht). New York: Dover Publications. fq. 1. ISBN 978-0-486-24073-2.
  82. ↑ Mueller, I. (1969). "Euclid's Elements and the Axiomatic Method". The British Journal for the Philosophy of Science (në anglisht). 20 (4): 289–309. doi:10.1093/bjps/20.4.289.
  83. ↑ Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.
  84. ↑ Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 120.
  85. ↑ Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 130.
  86. ↑ Boyer 1991, "Apollonius of Perga" p. 145.
  87. ↑ Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162.
  88. ↑ Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180.
  89. ↑ Ore, Øystein (1988). Number Theory and Its History (në anglisht). Courier Corporation. fq. 19–24. ISBN 978-0-486-65620-5.
  90. ↑ Singh, A. N. (janar 1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics". Osiris (në anglisht). 1: 606–628.
  91. ↑ Saliba, George (1994). A history of Arabic astronomy: planetary theories during the golden age of Islam (në anglisht). New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0.
  92. ↑ Faruqi, Yasmeen M. (2006). "Contributions of Islamic scholars to the scientific enterprise". International Education Journal (në anglisht). 7 (4): 391–399.
  93. ↑ Lorch, Richard (qershor 2001). "Greek-Arabic-Latin: The Transmission of Mathematical Texts in the Middle Ages". Science in Context (në anglisht). 14 (1–2): 313–331.
  94. ↑ "Francois Viète: Father of Modern Algebraic Notation" (në anglisht).
  95. ↑ "Logarithms: The Early History of a Familiar Function" (në anglisht). Arkivuar nga origjinali më 12 tetor 2025. Marrë më 31 gusht 2026.
  96. ↑ "René Descartes and the Fly on the Ceiling" (në anglisht).
  97. ↑ "Development of the Calculus" (në anglisht).
  98. ↑ "Leonhard Euler" (në anglisht).
  99. ↑ Archibald, Raymond Clare (janar 1949). "History of Mathematics After the Sixteenth Century". The American Mathematical Monthly (në anglisht). 56 (1): 35–56.
  100. ↑ Sevryuk 2006, ff. 101–109.
  101. ↑ Wolfram, Stephan (tetor 2000). Mathematical Notation: Past and Future. MathML and Math on the Web: MathML International Conference 2000, Urbana Champaign, USA (në anglisht).
  102. ↑ Douglas, Heather; Headley, Marcia Gail; Hadden, Stephanie; LeFevre, Jo-Anne (3 dhjetor 2020). "Knowledge of Mathematical Symbols Goes Beyond Numbers". Journal of Numerical Cognition (në anglisht). 6 (3): 322–354. doi:10.5964/jnc.v6i3.293.
  103. ↑ Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (tetor 2017). "AMS Style Guide" (PDF) (në anglisht). American Mathematical Society.
  104. ↑ Jansen, Anthony R.; Marriott, Kim; Yelland, Greg W. (2000). "Constituent Structure in Mathematical Expressions". Proceedings of the Annual Meeting of the Cognitive Science Society (në anglisht). 22.
  105. ↑ Rossi, Richard J. (2006). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof (në anglisht). John Wiley & Sons.
  106. ↑ "Earliest Uses of Some Words of Mathematics". MacTutor (në anglisht). University of St. Andrews.
  107. ↑ Silver, Daniel S. (nëntor–dhjetor 2017). "The New Language of Mathematics". The American Scientist (në anglisht). 105 (6): 364–371.
  108. ↑ Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (22 dhjetor 1994). Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation (në anglisht). CRC Press. fq. 1.
  109. ↑ Hennig, Christian (2010). "Mathematical Models and Reality: A Constructivist Perspective". Foundations of Science (në anglisht). 15: 29–48.
  110. ↑ Frigg, Roman; Hartmann, Stephan (4 shkurt 2020). "Models in Science". Stanford Encyclopedia of Philosophy (në anglisht).
  111. ↑ Stewart, Ian (2018). "Mathematics, Maps, and Models". The Map and the Territory: Exploring the Foundations of Science, Thought and Reality (në anglisht). Springer. fq. 345–356.
  112. ↑ "The science checklist applied: Mathematics". Understanding Science (në anglisht). University of California, Berkeley.
  113. ↑ Mackay, A. L. (1991). Dictionary of Scientific Quotations (në anglisht). London: Taylor & Francis. fq. 100.
  114. ↑ Bishop, Alan (1991). "Environmental activities and mathematical culture". Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education (në anglisht). Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers.
  115. 1 2 Ferreirós, J. (2007). "Ό Θεὸς Άριθμητίζει: The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss". The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (në anglisht). fq. 235–268.
  116. ↑ Kuhn, Thomas S. (1976). "Mathematical vs. Experimental Traditions in the Development of Physical Science". The Journal of Interdisciplinary History (në anglisht). 7 (1): 1–31.
  117. ↑ Asper, Markus (2009). "The two cultures of mathematics in ancient Greece". The Oxford Handbook of the History of Mathematics (në anglisht). OUP Oxford. fq. 107–132.
  118. ↑ Gozwami, Pinkimani; Singh, Madan Mohan (2019). "Integer Factorization Problem". Emerging Security Algorithms and Techniques (në anglisht). CRC Press. fq. 59–60.
  119. ↑ Maddy, P. (2008). "How applied mathematics became pure". The Review of Symbolic Logic (në anglisht). 1 (1): 16–41.
  120. ↑ Silver, Daniel S. (2017). "In Defense of Pure Mathematics". The Best Writing on Mathematics, 2016 (në anglisht). Princeton University Press. fq. 17–26.
  121. ↑ Parshall, Karen Hunger (2022). "The American Mathematical Society and Applied Mathematics from the 1920s to the 1950s: A Revisionist Account". Bulletin of the American Mathematical Society (në anglisht). 59 (3): 405–427.
  122. ↑ Lin, C. C . (mars 1976). "On the role of applied mathematics". Advances in Mathematics (në anglisht). 19 (3): 267–288.
  123. ↑ Lützen, J. (2011). Mathematics meets physics: A contribution to their interaction in the 19th and the first half of the 20th century (në anglisht).
  124. ↑ Marker, Dave (korrik 1996). "Model theory and exponentiation". Notices of the American Mathematical Society (në anglisht). 43 (7): 753–759.
  125. ↑ Chen, Changbo; Maza, Marc Moreno (gusht 2014). Cylindrical Algebraic Decomposition in the RegularChains Library (në anglisht).
  126. ↑ Pérez-Escobar, José Antonio; Sarikaya, Deniz (2021). "Purifying applied mathematics and applying pure mathematics: how a late Wittgensteinian perspective sheds light onto the dichotomy". European Journal for Philosophy of Science (në anglisht). 12 (1): 1–22.
  127. ↑ Sarukkai, Sundar (10 shkurt 2005). "Revisiting the 'unreasonable effectiveness' of mathematics". Current Science (në anglisht). 88 (3): 415–423.
  128. ↑ Wagstaff, Samuel S. Jr. (2021). "History of Integer Factoring". Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL (në anglisht). fq. 41–77.
  129. ↑ "Curves: Ellipse". MacTutor (në anglisht). School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
  130. ↑ Mukunth, Vasudevan (10 shtator 2015). "Beyond the Surface of Einstein's Relativity Lay a Chimerical Geometry". The Wire (në anglisht).
  131. 1 2 3 Borel, Armand (1983). "Mathematics: Art and Science". The Mathematical Intelligencer (në anglisht). 5 (4): 9–17.
  132. ↑ Hanson, Norwood Russell (nëntor 1961). "Discovering the Positron (I)". The British Journal for the Philosophy of Science (në anglisht). 12 (47): 194–214.
  133. ↑ Wagh, Sanjay Moreshwar; Deshpande, Dilip Abasaheb (27 shtator 2012). Essentials of Physics (në anglisht). PHI Learning Pvt. Ltd. fq. 3.
  134. ↑ Atiyah, Michael (1990). On the Work of Edward Witten. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (në anglisht). fq. 31.
  135. ↑ "Course 18C Mathematics with Computer Science" (në anglisht).
  136. ↑ "Theoretical Computer Science" (në anglisht).
  137. ↑ "Real-Life Applications of Discrete Mathematics" (në anglisht). 8 prill 2024.
  138. ↑ Hales, Thomas (2017). "A Formal Proof of the Kepler Conjecture". Forum of Mathematics, Pi (në anglisht). 5 e2. doi:10.1017/fmp.2017.1.
  139. ↑ Rouaud, Mathieu (prill 2017). Probability, Statistics and Estimation (në anglisht). fq. 10.
  140. ↑ Rao, C. Radhakrishna (1997) [1989]. Statistics and Truth: Putting Chance to Work (në anglisht) (bot. 2nd). World Scientific. fq. 3–17, 63–70.
  141. ↑ Rao, C. Radhakrishna (1981). "Foreword". Mathematical programming in statistics (në anglisht). New York: Wiley.
  142. ↑ Whittle 1994, ff. 10–11, 14–18.
  143. 1 2 3 Millstein, Roberta (8 shtator 2016). "Probability in Biology: The Case of Fitness". The Oxford Handbook of Probability and Philosophy (në anglisht).
  144. ↑ Bouleau 1999, ff. 282–283.
  145. ↑ Bouleau 1999, f. 285.
  146. ↑ "1.4: The Lotka-Volterra Predator-Prey Model" (në anglisht). 5 janar 2022.
  147. ↑ Salsburg, David (17 gusht 1992). "Commentary". The Use of Statistical Methods in the Analysis of Clinical Studies (në anglisht). 46: 17.
  148. ↑ "8". Beyond the Molecular Frontier: Challenges for Chemistry and Chemical Engineering (në anglisht). NAP.edu. 2003. fq. 71–73. doi:10.17226/10633.
  149. ↑ "Catastrophe Models (Property)" (në anglisht).
  150. ↑ "MAM2001 Essay" (në anglisht).
  151. ↑ Edling, Christofer R. (gusht 2002). "Mathematics in Sociology". Annual Review of Sociology (në anglisht). 28 (1): 197–220.
  152. ↑ Batchelder, William H. (2015). "Mathematical Psychology: History". International Encyclopedia of the Social & Behavioral Sciences (në anglisht). fq. 808–815.
  153. 1 2 Zak, Paul J. (2010). Moral Markets: The Critical Role of Values in the Economy (në anglisht). Princeton University Press. fq. 158.
  154. ↑ Levin, Jonathan; Milgrom, Paul (shtator 2004). Introduction to Choice Theory (PDF) (në anglisht).
  155. ↑ Kremer, Michael; Rao, Gautam; Schilbach, Frank (2019). "Chapter 5 Behavioral development economics". Handbook of Behavioral Economics: Applications and Foundations (në anglisht). Vëll. 2.
  156. ↑ "Mathematics". mdpi.com (në anglisht).
  157. ↑ "Kondratiev, Nikolai Dmitrievich" (në anglisht).
  158. ↑ "Mathématique de l'histoire". onlinebooks.library.upenn.edu (në frëngjisht).
  159. ↑ "Cliodynamics: a science for predicting the future" (në anglisht).
  160. ↑ Sokal, Alan; Jean Bricmont (1998). Fashionable Nonsense (në anglisht). New York: Picador. ISBN 978-0-312-19545-8.
  161. ↑ "Biden's Misleading Unemployment Statistic" (në anglisht). 27 janar 2023.
  162. ↑ Balaguer, Mark (2016). "Platonism in Metaphysics". The Stanford Encyclopedia of Philosophy (në anglisht) (bot. Spring 2016). Metaphysics Research Lab, Stanford University.
  163. ↑ Shih White, L. (1947). "The locus of mathematical reality: An anthropological footnote". Philosophy of Science (në anglisht). 14 (4): 289–303.
  164. ↑ Dorato, Mauro (2005). "Why are laws mathematical?". The Software of the Universe, An Introduction to the History and Philosophy of Laws of Nature (në anglisht). Ashgate. fq. 31–66.
  165. ↑ Mura, Roberta (dhjetor 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics (në anglisht). 25 (4): 375–85.
  166. ↑ Tobies, Renate; Neunzert, Helmut (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry (në anglisht). Springer.
  167. ↑ Ziegler, Günter M.; Loos, Andreas (2 nëntor 2017). "What is Mathematics?" and why we should ask, where one should experience and learn that, and how to teach it. Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education (në anglisht). fq. 63–77.
  168. ↑ Mura 1993, ff. 379, 381.
  169. ↑ Brown & Porter 1995, f. 326.
  170. ↑ Franklin, James (2009). Philosophy of Mathematics (në anglisht). Elsevier. fq. 104–106.
  171. ↑ Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics (në anglisht). American Mathematical Society.
  172. ↑ Devlin 2018, f. 3.
  173. ↑ Mac Lane, Saunders (1986). Mathematics Form and Function (në anglisht). fq. 409.
  174. ↑ Brown, Ronald; Porter, Timothy (1995). "The Methodology of Mathematics". The Mathematical Gazette (në anglisht). 79 (485): 321–334.
  175. ↑ Hamami, Yacin (qershor 2022). "Mathematical Rigor and Proof". The Review of Symbolic Logic (në anglisht). 15 (2): 409–449.
  176. ↑ Peterson 1988, f. 4: "Disa ankohen se programi kompjuterik nuk mund të verifikohet siç duhet." (në referencë ndaj provës Haken–Appel të teoremës së katër ngjyrave)
  177. ↑ Perminov, V. Ya. (1988). "On the Reliability of Mathematical Proofs". Philosophy of Mathematics (në anglisht). 42 (167 (4)): 500–508.
  178. ↑ Davis, Jon D.; McDuffie, Amy Roth; Drake, Corey; Seiwell, Amanda L. (2019). "Teachers' perceptions of the official curriculum: Problem solving and rigor". International Journal of Educational Research (në anglisht). 93: 91–100.
  179. ↑ Endsley, Kezia (2021). Mathematicians and Statisticians: A Practical Career Guide (në anglisht). Rowman & Littlefield. fq. 1–3.
  180. ↑ Robson, Eleanor (2009). "Mathematics education in an Old Babylonian scribal school". The Oxford Handbook of the History of Mathematics (në anglisht). OUP Oxford.
  181. ↑ Bernard, Alain; Proust, Christine; Ross, Micah (2014). "Mathematics Education in Antiquity". Handbook on the History of Mathematics Education (në anglisht). fq. 27–53.
  182. ↑ Dudley, Underwood (prill 2002). "The World's First Mathematics Textbook". Math Horizons (në anglisht). 9 (4): 8–11.
  183. ↑ Subramarian, F. Indian pedagogy and problem solving in ancient Thamizhakam. History and Pedagogy of Mathematics conference, July 16–20, 2012 (në anglisht).
  184. ↑ Siu, Man Keung (2004). "Official Curriculum in Mathematics in Ancient China: How did Candidates Study for the Examination?". How Chinese Learn Mathematics (në anglisht). fq. 157–185.
  185. ↑ Jones, Phillip S. (1967). "The History of Mathematical Education". The American Mathematical Monthly (në anglisht). 74 (1): 38–55.
  186. ↑ Schubring, Gert; Furinghetti, Fulvia; Siu, Man Keung (gusht 2012). "Introduction: the history of mathematics teaching. Indicators for modernization processes in societies". ZDM – Mathematics Education (në anglisht). 44: 457–459.
  187. ↑ von Davier, Matthias; Foy, Pierre; Martin, Michael O.; Mullis, Ina V.S. (2020). "Examining eTIMSS Country Differences Between eTIMSS Data and Bridge Data". TIMSS 2019 International Results in Mathematics and Science (në anglisht).
  188. ↑ Rowan-Kenyon, Heather T.; Swan, Amy K.; Creager, Marie F. (mars 2012). "Social Cognitive Factors, Support, and Engagement: Early Adolescents' Math Interests as Precursors to Choice of Career". The Career Development Quarterly (në anglisht). 60 (1): 2–15.
  189. ↑ Luttenberger, Silke; Wimmer, Sigrid; Paechter, Manuela (2018). "Spotlight on math anxiety". Psychology Research and Behavior Management (në anglisht). 11: 311–322.
  190. ↑ Yaftian, Narges (2 qershor 2015). "The Outlook of the Mathematicians' Creative Processes". Procedia – Social and Behavioral Sciences (në anglisht). 191: 2519–2525.
  191. ↑ van der Poorten, A. (1979). "A proof that Euler missed... Apéry's Proof of the irrationality of ζ(3)". The Mathematical Intelligencer (në anglisht). 1 (4): 195–203.
  192. ↑ Petkovi, Miodrag (2 shtator 2009). Famous Puzzles of Great Mathematicians (në anglisht). American Mathematical Society.
  193. ↑ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology (në anglisht). Cambridge University Press.
  194. ↑ Alon, Noga; Goldston, Dan (mars 2015). "Reflections on Paul Erdős on His Birth Centenary, Part II". Notices of the American Mathematical Society (në anglisht). 62 (3): 226–247.
  195. ↑ Shih, për shembull, deklaratën e Bertrand Russell-it "Matematika, e parë drejt, zotëron jo vetëm të vërtetën, por bukurinë supreme ..." në History of Western Philosophy (në anglisht). 1919. fq. 60.
  196. ↑ Cazden, Norman (tetor 1959). "Musical intervals and simple number ratios". Journal of Research in Music Education (në anglisht). 7 (2): 197–220.
  197. ↑ Enquist, Magnus; Arak, Anthony (nëntor 1994). "Symmetry, beauty and evolution". Nature (në anglisht). 372 (6502): 169–172.
  198. ↑ Hestenes, David (1999). "Symmetry Groups" (PDF) (në anglisht).
  199. ↑ Bender, Sara (shtator 2020). "The Rorschach Test". The Wiley Encyclopedia of Personality and Individual Differences (në anglisht). Wiley. fq. 367–376.
  200. ↑ Weyl, Hermann (2015). Symmetry (në anglisht). Princeton University Press. fq. 4.
  201. ↑ "Lecture 8: Translation Symmetry". MIT OpenCourseWare (në anglisht).
  202. ↑ Bradley, Larry (2010). "Fractals – Chaos & Fractals" (në anglisht).
  203. ↑ Kissane, Barry (korrik 2009). Popular mathematics. 22nd Biennial Conference of The Australian Association of Mathematics Teachers (në anglisht). Fremantle, Western Australia.
  204. ↑ Steen, L. A. (2012). Mathematics Today Twelve Informal Essays (në anglisht). Springer Science & Business Media. fq. 2.
  205. ↑ Pitici, Mircea (2017). The Best Writing on Mathematics 2016 (në anglisht). Princeton University Press.
  206. ↑ Monastyrsky 2001, f. 1.
  207. ↑ Riehm 2002, ff. 778–782.
  208. ↑ "Fields Medal" (në anglisht).
  209. 1 2 "Fields Medal" (në anglisht).
  210. ↑ "Honours/Prizes Index". MacTutor History of Mathematics Archive (në anglisht).
  211. ↑ "About the Abel Prize" (në anglisht). The Abel Prize.
  212. ↑ "Abel Prize". Encyclopedia Britannica (në anglisht).
  213. ↑ "Chern Medal Award" (PDF) (në anglisht). 1 qershor 2009.
  214. ↑ "Chern Medal Award" (në anglisht). International Mathematical Union (IMU).
  215. ↑ "The Leroy P Steele Prize of the AMS" (në anglisht). School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.
  216. ↑ Chern, S. S.; Hirzebruch, F. (2000). Wolf Prize in Mathematics (në anglisht).
  217. ↑ "The Wolf Prize" (në anglisht).
  218. 1 2 "Hilbert's Problems: 23 and Math" (në anglisht). 6 maj 2020.
  219. ↑ Feferman, Solomon (1998). "Deciding the undecidable: Wrestling with Hilbert's problems". In the Light of Logic (në anglisht). Oxford University Press.
  220. ↑ "The Millennium Prize Problems" (në anglisht). Clay Mathematics Institute.
  221. ↑ "Millennium Problems" (në anglisht). Clay Mathematics Institute.

Burime të tjera

Lexime shtesë

  • Benson, Donald C. (1999). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies (në anglisht). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8.
  • Davis, Philip J.; Hersh, Reuben (1999). The Mathematical Experience (në anglisht) (bot. Reprint). Boston; New York: Mariner Books. ISBN 978-0-395-92968-1.
  • Courant, Richard; Robbins, Herbert (1996). What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods (në anglisht) (bot. 2nd). New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-510519-3.
  • Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers (në anglisht). W.W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-04002-9.
  • Hazewinkel, Michiel, red. (2000). Encyclopaedia of Mathematics (në anglisht). Kluwer Academic Publishers. – Version i përkthyer dhe zgjeruar i një enciklopedie sovjetike të matematikës, në dhjetë vëllime.
  • Hodgkin, Luke Howard (2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity (në anglisht). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-152383-0.
  • Jourdain, Philip E. B. (2003). "The Nature of Mathematics". përmbledhur nga James R. Newman (red.). The World of Mathematics (në anglisht). Dover Publications. ISBN 978-0-486-43268-7.
  • Pappas, Theoni (1986). The Joy Of Mathematics (në anglisht). San Carlos, California: Wide World Publishing. ISBN 978-0-933174-65-8.
  • Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [1856]. Gauss zum Gedächtniss (në gjermanisht). Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 978-3-253-01702-5.
This page is issued from Wikipedia. The text is available under Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 unless otherwise noted. Additional terms may apply for the media files.