Shpërndarja F

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja F ose raporti F, e njohur gjithashtu si shpërndarja F e Snedekorit ose shpërndarja Fisher-Snedekor (pas Ronald Fisher dhe George W. Snedecor ), është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti që lind shpesh si shpërndarje null e një statistike testimi, më së shumti në analizën e variancës (ANOVA) dhe F -testeve të tjera.^[1][2][3]

Shpërndarja ${\displaystyle F}$ me ${\displaystyle d_{1}}$ dhe ${\displaystyle d_{2}}$ shkallë lirie është shpërndarja e

${\displaystyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$

ku ${\textstyle S_{1}}$ dhe ${\textstyle S_{2}}$ janë ndryshore të rastit të pavarura me shpërndarje hi-katrore me shkallë lirie përkatëse ${\textstyle d_{1}}$ dhe ${\textstyle d_{2}}$ .

Mund të tregohet se funksioni i dendësisë së probabilitetit (fdp) për ${\displaystyle X}$ jepet nga

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}x^{d_{1}/2-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-(d_{1}+d_{2})/2}\end{aligned}}}$

për ${\displaystyle x>0}$ real. Këtu ${\displaystyle \mathrm {B} }$ është funksioni beta . Në shumë zbatime, parametrat ${\displaystyle d_{1}}$ dhe ${\displaystyle d_{2}}$ janë numra të plotë pozitivë, por shpërndarja është e mirëpërcaktuar për vlera reale pozitive të këtyre parametrave.

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse është

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

ku ${\displaystyle I}$ është funksioni beta jo i plotë i rregulluar .

Pritshmëria, varianca dhe detaje të tjera rreth ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ janë dhënë në kutinë anësore; për ${\displaystyle d_{2}>8}$, kurtoza e tepërt është

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

Momenti k -të i një shpërndarjeje ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ ekziston dhe është i fundëm vetëm kur ${\displaystyle 2k<d_{2}}$ dhe është i barabartë me

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}$^[4]

Një ndryshor i rastit i shpërndarjes ${\displaystyle F}$ me parametra ${\displaystyle d_{1}}$ dhe ${\displaystyle d_{2}}$ lind si raport i dy variateve hi-katror të shkallëzuar në mënyrë të përshtatshme:

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

ku

• ${\displaystyle U_{1}}$ dhe ${\displaystyle U_{2}}$ kanë shpërndarje hi-katrore me ${\displaystyle d_{1}}$ dhe ${\displaystyle d_{2}}$ shkallët e lirisë përkatësisht, dhe
• ${\displaystyle U_{1}}$ dhe ${\displaystyle U_{2}}$ janë të pavarur .

• Nëse ${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$ dhe ${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$ ( Shpërndarja hi-katror ) janë të pavarura, atëherë ${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• Nëse ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$ ( Shpërndarja gama ) janë të pavarura, atëherë ${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$
• Nëse ${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$ ( Shpërndarja beta ) atëherë ${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$
• Në mënyrë të barabartë, nëse ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, atëherë ${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$ .
• Nëse ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$, atëherë ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$ ka një shpërndarje beta kryesore : ${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$ .
• Nëse ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ atëherë ${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ ka shpërndarjen hi-katror ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$ është e njëvlershme me shpërndarjen e shkallëzuar të Hotelling në T-katror ${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$ .
• Nëse ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ atëherë ${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$ .
• Nëse ${\displaystyle X\sim t_{(n)}}$ - Shpërndarja t-së studentit - më pas: $${\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}$$
• Shpërndarja F është një rast i veçantë i shpërndarjes Pearson të tipit 6
• Nëse ${\displaystyle X}$ dhe ${\displaystyle Y}$ janë të pavarura, me ${\displaystyle X,Y\sim }$ Laplace( μ, b ) atëherë $${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$$
• Nëse ${\displaystyle X\sim F(n,m)}$ atëherë ${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$ ( Shpërndarja e Fisher's z )
• Shpërndarja joqendrore <i id="mwAQI">F</i> thjeshtohet në shpërndarjen ${\displaystyle F}$ nëse ${\displaystyle \lambda =0}$ .
• Shpërndarja e dyfishtë joqendrore <i id="mwAQc">F</i> thjeshtohet në shpërndarjen ${\displaystyle F}$ nëse ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$
• Nëse ${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$ është kuantili ${\displaystyle p}$ për ${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$ dhe ${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$ është kuantili ${\displaystyle 1-p}$ për ${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$, atëherë $${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}$$
• Shpërndarja ${\displaystyle F}$ është një shembull i shpërndarjeve të raporteve
• W -shpërndarja^[5] është një parametrizim unik i shpërndarjes ${\displaystyle F}$.

1. ↑ Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
2. ↑ NIST (2006).
3. ↑ Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Introduction to the Theory of Statistics (bot. Third). McGraw-Hill. fq. 246–249. ISBN 0-07-042864-6. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
4. ↑ Taboga, Marco. "The F distribution". {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
5. ↑ Mahmoudi, Amin; Javed, Saad Ahmed (tetor 2022). "Probabilistic Approach to Multi-Stage Supplier Evaluation: Confidence Level Measurement in Ordinal Priority Approach". Group Decision and Negotiation (në anglisht). 31 (5): 1051–1096. doi:10.1007/s10726-022-09790-1. ISSN 0926-2644. PMC 9409630. PMID 36042813.