Shpërndarja Irwin–Hall

Page Stampa:Infobox probability distribution/styles.css has no content.

Shpërndarja Irwin–Hall

Probability density function Probability mass function for the distribution
Cumulative distribution function
Parameters	n ∈ N0
Support	${\displaystyle x\in [0,n]}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n}}$
Mean	${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$
Median	${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$
Mode	${\displaystyle {\begin{cases}{\text{çdo vlerë në }}[0,1]&{\text{për }}n=1\\{\frac {n}{2}}&{\text{përndryshe}}\end{cases}}}$
Variance	${\displaystyle {\frac {n}{12}}}$
Skewness	0
Excess kurtosis	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5n}}}$
MGF	${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}\right)}^{n}}$
CF	${\displaystyle {\left({\frac {\mathrm {e} ^{it}-1}{it}}\right)}^{n}}$

Në probabilitet dhe statistikë, shpërndarja Irwin–Hall, e emërtuar sipas Joseph Oscar Irwin dhe Philip Hall, është një shpërndarje probabiliteti për një ndryshore të rastit të përcaktuar si shuma e një numri ndryshoresh rasti të pavarura, secila prej të cilave ka një shpërndarje uniforme . Për këtë arsye njihet edhe si shpërndarja uniforme e shumës .

Kjo shpërndarje ndonjëherë ngatërrohet me shpërndarjen Bates, e cila është mesatarja (jo shuma ) e n ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme nga 0 në 1.

Shpërndarja Irwin–Hall është shpërndarja e vazhdueshme e probabilitetit për shumën e n ndryshoreve rasti të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike U<i id="mwIg">(</i> 0,<span typeof="mw:Entity" id="mwIw">&nbsp;</span>1) :

${\displaystyle X=\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

Funksioni i dendësisë të probabilitetit (pdf) për ${\displaystyle 0\leq x\leq n}$ jepet nga

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)_{+}^{n-1}}$

Me Teoremën Qendrore Limite, ndërsa n rritet, shpërndarja Irwin-Hall përafron gjithnjë e më shumë një shpërndarje normale me mesataren ${\displaystyle \mu =n/2}$ dhe variancë ${\displaystyle \sigma ^{2}=n/12}$ . Për të përafruar shpërndarjen standarde Normale ${\displaystyle \phi (x)={\mathcal {N}}(\mu =0,\sigma ^{2}=1)}$, shpërndarja Irwin–Hall mund të përqendrohet duke e zhvendosur atë me mesataren e saj prej n/2, dhe duke e shkallëzuar rezultatin me rrënjën katrore të variancës së saj:

${\displaystyle \phi (x){\overset {n\gg 0}{\approx }}{\sqrt {\frac {n}{12}}}f_{X}\left(x{\sqrt {\frac {n}{12}}}+{\frac {n}{2}};n\right)}$