Shpërndarja e ngritur e kosinusit

Page Stampa:Infobox probability distribution/styles.css has no content.

Cumulative distribution function
Parameters	${\displaystyle \mu \,}$(real) ${\displaystyle s>0\,}$(real)
Support	${\displaystyle x\in [\mu -s,\mu +s]\,}$
Unknown type	${\displaystyle {\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$
Mean	${\displaystyle \mu }$
Median	${\displaystyle \mu }$
Mode	${\displaystyle \mu }$
Unknown type	${\displaystyle s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,}$
Skewness	0
Excess kurtosis	${\displaystyle {\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}=-0.59376\ldots \,}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t}}$
CF	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}}$

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja e ngritur e kosinusit është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e mbështetur në intervalin ${\displaystyle [\mu -s,\mu +s]}$ . Funksioni i dendësisë së probabilitetit (PDF) është

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,}$

për ${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$ dhe zero ndryshe. Funksioni mbledhës i shpërndarjes (CDF) është

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$

për ${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$ dhe zero për ${\displaystyle x<\mu -s}$ dhe unitetin për ${\displaystyle x>\mu +s}$ .

Momentet e shpërndarjes së ngritur të kosinusit janë disi të të ndërlikuara në rastin e përgjithshëm, por janë thjeshtuar ndjeshëm për shpërndarjen standarde të kosinusit të ngritur. Shpërndarja standarde e kosinusit të ngritur është vetëm shpërndarja e kosinusit të ngritur me ${\displaystyle \mu =0}$ dhe ${\displaystyle s=1}$ . Për shkak se shpërndarja standarde e kosinusit të ngritur është një funksion çift, momentet tek janë zero. Momentet çift jepen nga:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{2n}\operatorname {hvc} (x\pi )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{1+2n}}\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\end{aligned}}}$

ku ${\displaystyle \,_{1}F_{2}}$ është një funksion hipergjeometrik i përgjithësuar .