Contacte entre funcions

${\displaystyle \Longrightarrow }$

Primer cal notar que si ${\displaystyle f}$ és una funció ${\displaystyle n}$ vegades derivable, aleshores les funcions ${\displaystyle f^{(k)}(x),\forall 0\leq k\leq n-1}$ existeixen i són contínues en algun entorn del punt ${\displaystyle a}$. I, per tant, les funcions ${\displaystyle f^{(k)}(x),\forall 0\leq k\leq n-2}$ són dervables en algun entorn del mateix punt. (${\displaystyle f^{(n-1)}}$ podria no ser derivable en cap entorn ja la nostra hipòtesi només demana que ${\displaystyle f^{(n-1)}}$ sigui derivable en el punt ${\displaystyle a}$, no que existèixi la funció ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$.)

A continuació hem de notar que, si dues funcions tenen un contacte d'ordre superior a ${\displaystyle n}$ en un punt, aleshores tenen un contacte d'ordre superior a ${\displaystyle k\leq n}$ en aquest punt.

Demostrem primer que es compleix per ${\displaystyle n=0}$. Suposem les funcions ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g,n}$ vegades derivables en el punt ${\displaystyle a}$ i que tenen un contacte d'ordre superior a 0. Aleshores:

${\displaystyle 0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{0}}}=\lim _{x\to a}{\big (}f(x)-g(x){\big )}=f(a)-g(a)\Longrightarrow f(a)=g(a)}$

On hem fet servir que, per continuïtat ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$. Suposem ara que l'enunciat és cert per a ${\displaystyle k=m-1}$, demostrem que aleshores és cert per a ${\displaystyle k=m,\forall m\leq n-1}$. Per hipòtesi ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ tenen contacte d'ordre superior a ${\displaystyle m}$. És a dir,

${\displaystyle 0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{m}}}}$

Però això vol dir, com hem vist abans, que ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ tenen contacte d'ordre superior a ${\displaystyle m-1}$ i, per tant, ${\displaystyle f^{(k)}(a)=g^{(k)}(a),\forall 0\leq k\leq m-1}$. I, en concret ${\displaystyle \lim _{x\to a}{\Big (}f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x){\Big )}=0,\forall 0\leq k\leq m-1}$. Per tant, el límit anterior és ${\displaystyle {\bigg [}{\frac {0}{0}}{\bigg ]}}$, aplicant les regles de L'Hôpital tenim:

${\displaystyle 0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{m}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-g'(x)}{(m)(x-a)^{m-1}}}={\bigg [}{\frac {0}{0}}{\bigg ]}}$

Aplicant Hôpital de nou (reiteradament):

${\displaystyle 0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{m}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-g'(x)}{(m)(x-a)^{m-1}}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(m)}(x)-g^{(m)}(x)}{m!}}={\frac {f^{(m)}(a)-g^{(m)}(a)}{m!}}\Longrightarrow f^{(m)}(a)=g^{(m)}(a)}$

Queda així demostrat l'enunciat per a tot ${\displaystyle k<n}$. Falta demostra-ho també quan ${\displaystyle k=n}$. Començem igual que le raonament anterior:

${\displaystyle 0=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)-g'(x)}{n(x-a)^{n-1}}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-g^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}}}$

Aquí no és possible tornar a aplicar Hôpital, ja que aquesta regla només és aplicable quan, tant el numerador com el denominador, són derivables en algun entorn del punt ${\displaystyle a}$, i com s'ha vist, ${\displaystyle f^{(n-1)}(x)-g^{(n-1)}(x)}$ no té perquè ser-ho. Tot i així, com que ja hem demostrat que ${\displaystyle f^{(n-1)}(a)-g^{(n-1)}(a)=0}$,és possible calcular aquest límit de la següent manera:

${\displaystyle 0=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-g^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)+g^{(n-1)}(a)-g^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}}={\frac {1}{n!}}{\Bigg [}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{(x-a)}}-\lim _{x\to a}{\frac {g^{(n-1)}(x)-g^{(n-1)}(a)}{(x-a)}}{\Bigg ]}}$

Però aquest última expressió és, per definició

${\displaystyle 0={\frac {1}{n!}}[f^{(n)}(a)-g^{(n)}(a)]\Longrightarrow f^{(n)}(a)=g^{(n)}(a)}$

${\displaystyle \Longleftarrow }$ Suposem que ${\displaystyle f^{(k)}(a)=g^{(k)}(a),\forall 0\leq k\leq n}$, aleshores ja hem vist que, per Hôpital.

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)-g(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(a)-g^{(n)}(a)}{n!}}=0}$

Per tant, les funcions ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ tenen contacte superior a ${\displaystyle n}$.