Cumulant

En teoria de la probabilitat i estadística, els cumulants κ_n d'una distribució de probabilitat són un conjunt de quantitats que proporcionen una alternativa als moments de la distribució. Dues distribucions de probabilitat amb moments idèntics també tindran cumulants idèntics, i viceversa.^[1]

El primer cumulant és la mitjana, el segon cumulant és la variància i el tercer cumulant és el mateix que el tercer moment central. Però els cumulants de quart ordre i d'ordre superior no són iguals als moments centrals. En alguns casos, els tractaments teòrics dels problemes en termes de cumulants són més senzills que els que utilitzen moments. En particular, quan dues o més variables aleatòries són estadísticament independents, el cumulant d'ordre n de la seva suma és igual a la suma dels seus cumulants d'ordre n. A més, els cumulants de tercer ordre i d'ordre superior d'una distribució normal són zero, i és l'única distribució amb aquesta propietat.^[2]

De la mateixa manera que per als moments, on els moments conjunts s'utilitzen per a col·leccions de variables aleatòries, és possible definir cumulants conjunts.^[3]

Els cumulants d'una variable aleatòria X es defineixen mitjançant la funció generadora de cumulants (CGF) K(t), que és una funció generadora que és el logaritme natural de la funció generadora de moments: $${\displaystyle K(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right].}$$Els cumulants κ_n s'obtenen d'una expansió en sèrie de potències de la funció generadora de cumulants:

$${\displaystyle K(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\kappa _{1}{\frac {t}{1!}}+\kappa _{2}{\frac {t^{2}}{2!}}+\kappa _{3}{\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots =\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}$$Aquesta expansió és una sèrie de Maclaurin, de manera que el cumulant n -èsim es pot obtenir diferenciant l'expansió anterior n vegades i avaluant el resultat a zero:^[4]

$${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0).}$$Si la funció generadora de moments no existeix, els cumulants es poden definir en termes de la relació entre els cumulants i els moments que es discutirà més endavant.

L'enèsim cumulant ${\textstyle \kappa _{n}(X)}$ de (la distribució d') una variable aleatòria ${\textstyle X}$ gaudeix de les següents propietats:

• Si ${\textstyle n>1}$ i ${\textstyle c}$ és constant (és a dir, no aleatori) llavors ${\textstyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X),}$ és a dir, el cumulant és invariant a la traducció. (Si ${\textstyle n=1}$ llavors tenim ${\textstyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c.)}$
• Si ${\textstyle c}$ és constant (és a dir, no aleatori) llavors ${\textstyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X),}$ és a dir, el ${\textstyle n}$ el cumulant és homogeni de grau ${\textstyle n}$.
• Si les variables aleatòries ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}$ són independents, doncs $${\displaystyle \kappa _{n}(X_{1}+\cdots +X_{m})=\kappa _{n}(X_{1})+\cdots +\kappa _{n}(X_{m})\,.}$$ És a dir, el cumulant és acumulatiu, d'aquí el nom.

La propietat acumulativa es desprèn ràpidament considerant la funció generadora del cumulant: $${\displaystyle {\begin{aligned}K_{X_{1}+\cdots +X_{m}}(t)&=\log \operatorname {E} \left[e^{t(X_{1}+\cdots +X_{m})}\right]\\[5pt]&=\log \left(\operatorname {E} \left[e^{tX_{1}}\right]\cdots \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\right)\\[5pt]&=\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{1}}\right]+\cdots +\log \operatorname {E} \left[e^{tX_{m}}\right]\\[5pt]&=K_{X_{1}}(t)+\cdots +K_{X_{m}}(t),\end{aligned}}}$$ de manera que cada cumulant d'una suma de variables aleatòries independents és la suma dels cumulants corresponents dels sumands. És a dir, quan els sumands són estadísticament independents, la mitjana de la suma és la suma de les mitjanes, la variància de la suma és la suma de les variàncies, el tercer cumulant (que resulta ser el tercer moment central) de la suma és la suma dels tercers cumulants, i així successivament per a cada ordre de cumulant.

Una distribució amb cumulants κ_n es pot aproximar mitjançant una sèrie d'Edgeworth.

• Les variables aleatòries constants X = μ. La funció generadora de cumulants és K(t) = μt. El primer cumulant és κ1 = K′(0) = μ i els altres cumulants són zero, κ2 = κ3 = κ4 = ⋅⋅⋅ = 0.

• Les distribucions de Bernoulli (nombre d'èxits en una prova amb probabilitat p d'èxit). La funció generadora de cumulants és K(t) = log(1 − p + pet). Els primers cumulants són κ1 = K '(0) = p i κ2 = K′′(0) = p·(1 − p). Els cumulants satisfan una fórmula de recursió κ

$${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}$$

• Les distribucions geomètriques (nombre de fracassos abans d'un èxit amb probabilitat p d'èxit a cada prova). La funció generadora de cumulants és K(t) = log(p / (1 + (p − 1)et)). Els primers cumulants són κ1 = K′(0) = p−1 − 1, i κ2 = K′′(0) = κ1p−1. Substituint p = (μ + 1)−1 s'obté K(t) = −log(1 + μ(1−et)) i κ1 = μ.

• Les distribucions de Poisson. La funció generadora de cumulants és K(t) = μ(et − 1). Tots els cumulants són iguals al paràmetre: κ1 = κ2 = κ3 =... = μ.

• Les distribucions binomials (nombre d'èxits en n proves independents amb probabilitat p d'èxit a cada prova). El cas especial n = 1 és una distribució de Bernoulli. Cada cumulant és només n vegades el cumulant corresponent de la distribució de Bernoulli corresponent. La funció generadora de cumulants és K(t) = n log(1 − p + pet). Els primers cumulants són κ1 = K′(0) = np i κ2 = K′′(0) = κ1(1 − p). Substituint p = μ·n−1 s'obté K '(t) = ((μ−1 − n−1)·e−t + n−1)−1 i κ1 = μ. El cas límit n → +∞ és una distribució de Poisson.

• Les distribucions binomials negatives (nombre de fracassos abans de r èxits amb probabilitat p d'èxit a cada intent). El cas especial r = 1 és una distribució geomètrica. Cada cumulant és just r vegades el cumulant corresponent de la distribució geomètrica corresponent. La derivada de la funció generadora de cumulants és K′(t) = r·((1 − p)−1·e−t−1)−1. Els primers cumulants són κ1 = K′(0) = r·(p−1−1), i κ2 = K′′(0) = κ1·p−1. Si substituïm p = (μ·r−1+1)−1, obtenim K′(t) = ((μ−1 + r−1)e−t − r−1)−1 i κ1 = μ. La comparació d'aquestes fórmules amb les de les distribucions binomials explica el nom de «distribució binomial negativa». El cas límit r → +∞ és una distribució de Poisson.

Introducció de la relació entre la variància i la mitjana $${\displaystyle \varepsilon =\mu ^{-1}\sigma ^{2}=\kappa _{1}^{-1}\kappa _{2},}$$ Les distribucions de probabilitat anteriors obtenen una fórmula unificada per a la derivada de la funció generadora del cumulant: $${\displaystyle K'(t)=(1+(e^{-t}-1)\varepsilon )^{-1}\mu }$$

La segona derivada és $${\displaystyle K''(t)=(\varepsilon -(\varepsilon -1)e^{t})^{-2}\mu \varepsilon e^{t}}$$ confirmant que el primer cumulant és κ₁ = K′(0) = μ i el segon cumulant és κ₂ = K′′(0) = με.

Les variables aleatòries constants X = μ tenen ε = 0.

Les distribucions binomials tenen ε = 1 − p de manera que 0 < ε < 1.

Les distribucions binomials negatives tenen ε = p⁻¹ de manera que ε > 1.

Observeu l'analogia amb la classificació de les seccions còniques per excentricitat : cercles ε = 0, el·lipses 0 < ε < 1, paràboles ε = 1, hipèrboles ε > 1.

• Per a la distribució normal amb valor esperat μ i variància σ² la funció generadora de cumulants és K(t) = μt + σ²t²/2. Les derivades primera i segona de la funció generadora de cumulants són K′(t) = μ + σ²·t i K′′(t) = σ². Els cumulants són κ₁ = μ κ₂ = σ² i κ₃ = κ₄ = ⋅⋅⋅ = 0 El cas especial σ² = 0 és una variable aleatòria constant X = μ.
• Els cumulants de la distribució uniforme en l'interval [a, b] són κ₁ = (a + b) /2, i κ_n = (b - a)ⁿB_n /n per n ≥ 2, on B_n el nombre de Bernoulli n-èsim n
• Els cumulants de la distribució exponencial amb paràmetre de taxa λ són κ_n = λ⁻ⁿ (n − 1)!

La funció generadora de cumulants K(t), si existeix, és infinitament diferenciable i convexa, i passa per l'origen. La seva primera derivada oscil·la monòtonament en l'interval obert des de l'ínfim fins al suprem del suport de la distribució de probabilitat, i la seva segona derivada és estrictament positiva a tot arreu on està definida, excepte per a la distribució degenerada d'una massa puntual. La funció generadora de cumulants existeix si i només si les cues de la distribució es majoritzen mitjançant una decadència exponencial, és a dir, (vegeu la notació Big O).

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\exists c>0,\,\,F(x)=O(e^{cx}),x\to -\infty$$ ;{\text{ i}}\\[4pt]&\exists d>0,\,\,1-F(x)=O(e^{-dx}),x\to +\infty ;\end{aligned}}} on ${\textstyle F}$ és la funció de distribució acumulativa. La funció generadora del cumulant tindrà asímptota vertical (s) al suprem negatiu d'aquest c, si existeix aquest suprem, i al suprem d'aquest d, si existeix aquest suprem; en cas contrari, es definirà per a tots els nombres reals.

Si el suport d'una variable aleatòria X té límits superiors o inferiors finits, aleshores la seva funció generadora de cumulants y = K(t) y = K(t), si existeix, s'acosta a l'asímptota (s) el pendent de la qual és igual al suprem o ínfim del suport, $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(t+1)\inf \operatorname {supp} X-\mu (X),{\text{ i}}\\[5pt]y&=(t-1)\sup \operatorname {supp} X+\mu (X),\end{aligned}}}$$ respectivament, situant-se per sobre d'aquestes dues línies a tot arreu. (Les integrals

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt,\qquad \int _{\infty }^{0}\left[t\inf \operatorname {supp} X-K'(t)\right]\,dt}$$donen les interseccions y d'aquestes asímptotes, ja que K(0) = 0)

Per a un desplaçament de la distribució per c, ${\textstyle K_{X+c}(t)=K_{X}(t)+ct.}$ Per a una massa puntual degenerada a c, la funció generadora del cumulant és la línia recta ${\textstyle K_{c}(t)=ct}$, i més generalment, ${\textstyle K_{X+Y}=K_{X}+K_{Y}}$ si i només si X i Y són independents i les seves funcions generadores cumulants existeixen; (la subindependència i l'existència de segons moments són suficients per implicar independència.^[10])

La família exponencial natural d'una distribució es pot realitzar desplaçant o translant K(t) i ajustant-la verticalment de manera que sempre passi per l'origen: si f és la funció de debilitat amb funció generadora de cumulants ${\textstyle K(t)=\log M(t),}$ i ${\textstyle f|\theta }$ és la seva família exponencial natural, aleshores ${\textstyle f(x\mid \theta )={\frac {1}{M(\theta )}}e^{\theta x}f(x),}$ i ${\textstyle K(t\mid \theta )=K(t+\theta )-K(\theta ).}$

Si K(t) és finit per a un rang t₁ < Re(t) < t₂, aleshores si t₁ < 0 < t₂ aleshores K(t) és analític i infinitament diferenciable per t₁ < Re(t) < t₂. A més, per a t real i t₁ < t < t₂ K(t) és estrictament convex, i K′(t) és estrictament creixent.

En física estadística, moltes quantitats extensives, és a dir, quantitats que són proporcionals al volum o la mida d'un sistema determinat, estan relacionades amb cumulants de variables aleatòries. La connexió profunda és que en un sistema gran una quantitat extensiva com l'energia o el nombre de partícules es pot considerar com la suma de (per exemple) l'energia associada a un nombre de regions gairebé independents. El fet que els cumulants d'aquestes variables aleatòries gairebé independents se sumin (gairebé) fa que sigui raonable esperar que les quantitats extensives estiguin relacionades amb els cumulants.

Un sistema en equilibri amb un bany tèrmic a la temperatura T té una energia interna fluctuant E, que es pot considerar una variable aleatòria extreta d'una distribució ${\textstyle E\sim p(E)}$ La funció de partició del sistema és $${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}},}$$ on β = 1/(kT) i k és la constant de Boltzmann i la notació ${\textstyle \langle A\rangle }$ s'ha utilitzat en lloc de ${\textstyle \operatorname {E} [A]}$ per al valor esperat per evitar confusions amb l'energia, E Per tant, el primer i el segon cumulant de l'energia E donen l'energia i la capacitat calorífica mitjanes.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle E\rangle _{c}&={\frac {\partial \log Z}{\partial (-\beta )}}=\langle E\rangle \\[6pt]\langle E^{2}\rangle _{c}&={\frac {\partial \langle E\rangle _{c}}{\partial (-\beta )}}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}=kT^{2}C\end{aligned}}}$$L'energia lliure de Helmholtz expressada en termes de

$${\displaystyle F(\beta )=-\beta ^{-1}\log Z(\beta )\,}$$ connecta a més les quantitats termodinàmiques amb la funció generadora de cumulants per a l'energia. Les propietats termodinàmiques que són derivades de l'energia lliure, com ara la seva energia interna, entropia i capacitat calorífica específica, es poden expressar fàcilment en termes d'aquests cumulants. Altres energies lliures poden ser una funció d'altres variables com ara el camp magnètic o el potencial químic. ${\textstyle \mu }$, p. ex. $${\displaystyle \Omega =-\beta ^{-1}\log \left(\left\langle e^{-\beta (E+\mu N)}\right\rangle \right),}$$ on N és el nombre de partícules i ${\textstyle \Omega }$ és el gran potencial. De nou, l'estreta relació entre la definició de l'energia lliure i la funció generadora de cumulants implica que diverses derivades d'aquesta energia lliure es poden escriure en termes de cumulants conjunts d' E i N

La història dels cumulants és tractada per Anders Hald.^[11][12]

Els cumulants van ser introduïts per primera vegada per Thorvald N. Thiele, el 1889, que els va anomenar semiinvariants.^[13] Van ser anomenats cumulants per primera vegada en un article de 1932 de Ronald Fisher i John Wishart.^[14] Neyman va recordar públicament a Fisher el treball de Thiele, que també assenyala cites publicades anteriorment de Thiele que Fisher va tenir en compte.^[15] Stephen Stigler ha dit que el nom cumulant va ser suggerit a Fisher en una carta de Harold Hotelling. En un article publicat el 1929, Fisher les havia anomenat funcions de moments acumulatius.^[16]

La funció de partició en física estadística va ser introduïda per Josiah Willard Gibbs el 1901. L'energia lliure sovint s'anomena energia lliure de Gibbs. En mecànica estadística, els cumulants també es coneixen com a funcions d'Ursell relacionades amb una publicació del 1927.