Derivada (exemples)

Sigui c un nombre real.

Es considera la funció constant f de valor c:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R^{*}} ,{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {c-c}{h}}=0}$

per tant

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=0}$.

Així la derivada d'una funció constant és la funció nul·la.

Sigui la funció f:

${\displaystyle f(x)=x^{n}\,}$ definida sobre ${\displaystyle {I}\,}$

${\displaystyle h\not =0}$

${\displaystyle \forall a\in {I},\forall {(a+h)}\in {I}\,}$

${\displaystyle t(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

${\displaystyle t(h)={\frac {(a+h)^{n}-a^{n}}{h}}}$

${\displaystyle t(h)={\frac {(a^{n}+na^{n-1}h+p_{3}a^{n-2}h^{2}+p_{4}a^{n-3}h^{3}...p_{n}ah^{n-1}+p_{n+1}h^{n})-a^{n}}{h}}}$

On els coeficients ${\displaystyle p_{i}}$ venen donats pel triangle de Tartaglia (${\displaystyle p_{1}=1}$ i ${\displaystyle p_{2}=n}$). Els ${\displaystyle a^{n}}$ s'anul·len, i se simplifica per ${\displaystyle h}$.

${\displaystyle t(h)=na^{n-1}+p_{3}a^{n-2}h+p_{4}a^{n-3}h^{2}...p_{n}ah^{n-2}+p_{n+1}h^{n-1}\,}$

Per tant: ${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}t(h)=na^{n-1}}$

Nota: funciona per a tot n i permet trobar les derivades de les funcions inversa i arrel enèsima. Tanmateix si n < 2 llavors la funció no és derivable en 0.

Es considera la funció f definida sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ per

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall h\in \mathbb {R} ^{*},{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}}$

${\displaystyle ={\frac {(x+h-x)(x+h+x)}{h}}={\frac {h(2x+h)}{h}}=2x+h}$

per tant

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x}$

la derivada de f és per tant la funció f' definida per

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,f'(x)=2x}$.

Es considera la funció f=√x

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},\forall h\in \mathbb {R} ^{*},h>-x,\quad {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}}$

${\displaystyle ={\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}}$

${\displaystyle ={\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}}$

per tant

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$

D'altra banda,

${\displaystyle \forall h\in \mathbb {R} _{+}^{*},{\frac {f(h)-f(0)}{h}}={\frac {\sqrt {h}}{h}}={\frac {1}{\sqrt {h}}}}$

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(h)-f(0)}{h}}=+\infty }$

per tant f no és derivable en 0 i la seva gràfica admet en 0 una semi tangent vertical.

Es consideren les funcions següents i tot seguit es presenta el procés de càlcul de les seves derivades:

1. ${\displaystyle y=x^{2}+5x-3\,}$

2. ${\displaystyle y=3x^{2}-9x+{\frac {2}{3}}\,}$

3. ${\displaystyle y=-4x^{2}+{\frac {4}{7}}x-1\,}$

Derivació: 1. ${\displaystyle y=x^{2}+5x-3\,}$

${\displaystyle y'=(x^{2})'+(5x)'-(3)'\,}$

${\displaystyle y'=2x+5+0\,}$

${\displaystyle y'=2x+5\,}$

2. ${\displaystyle y=3x^{2}-9x+{\frac {2}{3}}\,}$

${\displaystyle y'=(3x^{2})'-(9x)'+({\frac {2}{3}})'\,}$

${\displaystyle y'=6x-9+0\,}$

${\displaystyle y'=6x-9\,}$

3. ${\displaystyle y=-4x^{2}+{\frac {4}{7}}x-1\,}$

${\displaystyle y'=(-4x^{2})'+({\frac {4}{7}}x)'-(1)'\,}$

${\displaystyle y'=-8x+{\frac {4}{7}}-0\,}$

${\displaystyle y'=-8x+{\frac {4}{7}}\,}$

Es consideren les funcions següents i tot seguit es presenta el procés de càlcul de les seves derivades:

1. ${\displaystyle y=2x^{3}+6x^{2}-4x+{\frac {9}{\pi }}\,}$

2. ${\displaystyle y=-x^{3}-5x^{2}+{\frac {2}{3}}x-1\,}$

3. ${\displaystyle y={\frac {5}{17}}x^{3}+x^{2}-2x+e\,}$

Derivades:

1. ${\displaystyle y=2x^{3}+6x^{2}-4x+{\frac {9}{\pi }}\,}$

${\displaystyle y'=(2x^{3})'+(6x^{2})'-(4x)'+\left({\frac {9}{\pi }}\right)'\,}$

${\displaystyle y'=6x^{2}+12x-4+0\,}$

${\displaystyle y'=2(3x^{2}+6x-2)\,}$

2. ${\displaystyle y=-x^{3}-5x^{2}+{\frac {2}{3}}x-1\,}$

${\displaystyle y'=-(x^{3})'-(5x^{2})'+\left({\frac {2}{3}}x\right)'-(1)'\,}$

${\displaystyle y'=-3x^{2}-10x+{\frac {2}{3}}-0\,}$

${\displaystyle y'=-3x^{2}-10x+{\frac {2}{3}}\,}$

3. ${\displaystyle y={\frac {5}{17}}x^{3}+x^{2}-2x+e\,}$

${\displaystyle y'=\left({\frac {5}{17}}x^{3}\right)'+(x^{2})'-(2x)'+(e)'\,}$

${\displaystyle y'={\frac {5\times 3x^{2}}{17}}+2x-2+0\,}$

${\displaystyle y'={\frac {15x^{2}}{17}}+2x-2\,}$

Sia la funció y :

${\displaystyle y(x)=ax^{b}\qquad a\not =0,b\in \mathbb {R} }$

Llavors, la derivada n-èsima de y ve donada, sobre intervals convenients, per :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\qquad$ :\qquad y^{(n)}(x)=a\prod _{k=0}^{n-1}(b-k)\cdot x^{b-n}}

Viccionari