Forma bilineal

Siguin $V\,$ i $W\,$ objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte $K$ amb estructura aritmètica. Típicament $V\,$ i $W\,$ són dos $K$ -mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell $K$ , o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos $K$ . Una forma bilineal $\omega$ és una aplicació

\omega :V\times W\longrightarrow K\,

del producte cartesià dels objectes $V\,$ i $W\,$ a l'objecte $K\,$ que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:

$\omega (\lambda x+\mu y,z)=\lambda \omega (x,z)+\mu \omega (y,z)\,,\quad x,y\in V\,,\quad z\in W\,,\quad \lambda ,\mu \in K\,$

$\omega (x,z\lambda +t\mu )=\omega (x,z)\lambda +\omega (x,t)\mu \,,\quad x\in V\,,\quad z,t\in W\,,\quad \lambda ,\mu \in K\,$

Notació

Si $\omega$ és una forma bilineal i $x\in V$ i $y\in W$ , hom sol usar la notació

$\langle x,y\rangle _{\omega }\,$

per expressar el valor $\omega (x,y)\,$ de la forma $\omega \,$ en la parella $(x,y)\,$ , és a dir, $\langle x,y\rangle _{\omega }=\omega (x,y)\,$ i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma $\omega$ :

$\langle x,y\rangle \,$

Formes bilineals degenerades i no degenerades

Els conjunts

$N_{V}=\left\{x\in V,\forall y\in W,\langle x,y\rangle =0\right\}\,,\quad N_{W}=\left\{y\in W,\forall x\in V,\langle x,y\rangle =0\right\}\,$

són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si $N_{V}=\{0\}\,$ i $N_{W}=\{0\}\,$ aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i $\pi _{V}:V\longrightarrow V/N_{V}\,$ i $\pi _{W}:W\longrightarrow W/N_{W}\,$ són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal

${\tilde {\omega }}:V/N_{V}\times W/N_{W}\longrightarrow K\,$

$\langle \pi _{V}(x),\pi _{W}(y)\rangle =\langle x,y\rangle \,$

és no degenerada.

Formes bilineals simètriques i alternades

Si $V=W\,$ i $K\,$ és commutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix

$\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle \,$

i com a forma bilineal alternada la que compleix

$\forall x\in V,\quad \langle x,x\rangle =0\in K\,$

Per a una forma bilineal alternada, si $x,y\in V\,$ , tenim

${\begin{aligned}0&=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x+y\rangle +\langle y,x+y\rangle =\\&=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\\&=\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \end{aligned}}\,$

que implica

$\langle x,y\rangle =-\langle y,x\rangle \,$

En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que $\langle x,x\rangle =0\,$ , si no és que la característica de $K\,$ és diferent de 2: la condició $\langle x,x\rangle =0\,$ és, doncs, més restrictiva que la condició $\langle x,y\rangle =-\langle y,x\rangle$ .

Matriu d'una forma bilineal

Si $V\,$ i $W\,$ són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i ${\mathcal {B}}_{V}=\left\{v_{1},\ldots v_{m}\right\}$ i ${\mathcal {B}}_{W}=\left\{w_{1},\ldots w_{n}\right\}$ en són bases respectives, una forma bilineal $\omega :V\times V^{\ast }\longrightarrow K\,$ queda determinada pels $m\times n$ valors

$\langle v_{i},w_{j}\rangle _{\omega }\,,\quad i=1,\ldots ,m\,,\quad j=1,\ldots ,n\,$

Si es disposen aquests $m\times n$ valors en una matriu de $n$ files i $m$ columnes,

$M=\left(\langle v_{i},w_{j}\rangle _{\omega }\right)\,,\quad i=1,\ldots ,m\,,\quad j=1,\ldots ,n\,$

aleshores el càlcul de $\langle v,w\rangle _{\omega }$ és

$\langle v,w\rangle =w^{T}Mv\,$

on $w^{T}$ és el transposat de $w$ , és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.

En canvi, si la matriu és de $m$ files i $n$ columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu $M$ , el càlcul és

$\langle v,w\rangle =v^{T}M^{T}w\,$

Exemples

L'àrea d'un paral·lelogram

Sigui $V_{2}$ l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui ${\mathcal {B}}\,$ una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base ${\mathcal {B}}\,$ com a unitat de mesura és una forma bilineal $V_{2}\times V_{2}\longrightarrow \mathbb {R}$ . Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de $V_{2}$ .

El producte escalar euclidià

El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\,$ en la forma $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle \,$ , pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la commutativitat de $\mathbb {R}$ ,

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z\,,\quad x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z\,$

$(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y)=\lambda (x\cdot y)\,$

$x\cdot y=y\cdot z\,$

obtenim

$\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle \,,\quad \langle x,(y+z)\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle \,$

$\langle \lambda x,y\rangle =\langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle \,$

$\langle x,y\rangle =\langle y,z\rangle \,$

i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.

Còniques i quàdriques

Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}P_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{k=1}^{n}Q_{k}x_{k}+R=0\,$

L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu

${\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}/2&\ldots &P_{1n}/2\\P_{21}/2&P_{22}&\ldots &P_{2n}/2\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\P_{n1}/2&P_{n2}/2&\ldots &P_{nn}\end{pmatrix}}\,$

obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.

Mòduls o espais duals

Si $V$ és un $>K$ -mòdul i $V^{\ast }$ és el seu mòdul dual, l'aplicació

$\omega :V\times V^{\ast }\longrightarrow K\,$

$\langle x,\varphi \rangle _{\omega }=\langle x,\varphi \rangle \,$

que a la parella $(x,\varphi )$ li fa correspondre el valor $\langle x,\varphi \rangle$ de la forma $\varphi$ en l'element $x\in V$ és òbviament una forma bilineal.

Vegeu també

Estructures lineals duals.
El producte escalar en un espai euclidià.