Forma indeterminada

En matemàtiques, s'anomena forma indeterminada a cadascuna de les expressions algebraiques següents que s'obtenen en el càlcul de límits:

${\displaystyle {\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad +\infty -\infty }$

Dues funcions que presenten la mateixa indeterminació poden tenir límits distints. Els mètodes freqüents per evitar les indeterminacions són la regla de L'Hôpital, el teorema del sandvitx i l'aplicació de logaritmes.

La indeterminació ${\displaystyle 0/0}$ apareix als següents límits:

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}={\frac {0}{0}}\qquad \lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{\ln(x)}}={\frac {0}{0}}}$

Però, aplicant la Regla de L'Hôpital, els límits d'aquestes funcions són distints:^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}=2\qquad \lim _{x\to 1}{\frac {x-1}{\ln(x)}}=1}$

Existeix una fórmula per evitar la indeterminació ${\displaystyle 1^{\infty }}$. Siguin ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ dues funcions amb límits ${\displaystyle 1}$ i ${\displaystyle \infty }$ quan ${\displaystyle x\to a}$ (sent ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$), aleshores

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=1^{\infty }}$

En aquest cas,

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to a}e^{g(x)\cdot (f(x)-1)}}$

Per exemple,

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{2^{x}}}\right)^{x}=1^{+\infty }}$

Aplicant la fórmula,

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{2^{x}}}\right)^{x}=\lim _{x\to +\infty }e^{\frac {x}{2^{x}}}=e^{0}=1}$

• Comparació de funcions: en els quocients de funcions que tendeixen a infinit, es pot predir el resultat del límit comparant el creixement de les funcions (en realitat, el que es compara és el grau dels infinits).^[2] Per exemple,

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}$

Com que la funció exponencial creix més ràpid que un monomi, l'infinit del denominador és major, per la qual cosa el límit és 0:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}=0}$

Si és major el creixement del numerador, el límit és infinit, per exemple:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{\ln(x)}}=+\infty }$

• Quocient de polinomis: quan ${\displaystyle x\to \infty }$, apareix la indeterminació ${\displaystyle \infty /\infty }$ en el límit dels quocients de polinomis. Es pot predir el límit comparant els graus dels polinomis: Siguin ${\displaystyle P(x)}$ i ${\displaystyle Q(x)}$ dos polinomis amb graus ${\displaystyle \delta P}$ i ${\displaystyle \delta Q}$, respectivament, aleshores:^[3]

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\begin{cases}0{\text{ si }}\delta Q>\delta P\\p/q{\text{ si }}\delta P=\delta Q\\\pm \infty {\text{ si }}\delta P>\delta Q\\\end{cases}}}$

sent ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ els coeficients principals del polinomis ${\displaystyle P(x)}$ i ${\displaystyle Q(x)}$, respectivament.

En el tercer cas, ${\displaystyle \delta P>\delta Q}$, el signe de l'infinit és ${\displaystyle signe(p/q)}$.

En el cas ${\displaystyle x\to -\infty }$, es procedeix de manera semblant.

Aquesta indeterminació es pot evitar, normalment, operant al límit. Per exemple,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}-{\frac {1+x}{x^{2}}}=\pm \infty -\infty }$

Però,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}-{\frac {1+x}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}-{\frac {1}{x^{2}}}=-\infty }$

Aquesta indeterminació es sol evitar aplicant les propietats dels logaritmes.^[2]

Per exemple,

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }x^{\frac {1}{x}}=\lim _{x\to +\infty }e^{\frac {\ln(x)}{x}}=e^{0}=1}$

La següent taula conté les formes indeterminades i les transformacions necessàries per poder aplicar la regla de L'Hôpital.

Forma indeterminada	Condicions	Transformació a 0/0	Transformació a ∞/∞
${\displaystyle \qquad {\frac {0}{0}}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad {\frac {\infty }{\infty }}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle \qquad 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle \qquad \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$

• Regla de L'Hôpital