Funció H de Chandrasekhar

En la radiació atmosfèrica, la funció H de Chandrasekhar (també coneguda com a funció H d'Ambartsumian o funció H de Busbridge) apareix com la solució de problemes relacionats amb la dispersió, introduïda per l'astrofísic indi estatunidenc Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995).^{[1][2][3][4][5]} La funció H de Chandrasekhar ${\displaystyle H(\mu )}$ definida a l'interval ${\displaystyle 0\leq \mu \leq 1}$, satisfà la següent equació integral no-lineal

${\displaystyle H(\mu )=1+\mu H(\mu )\int _{0}^{1}{\frac {\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}H(\mu ')\,d\mu '}$

on la funció característica ${\displaystyle \Psi (\mu )}$ és un polinomi parcial en ${\displaystyle \mu }$ que compleix la següent condició

${\displaystyle \int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \leq {\frac {1}{2}}}$.

Si la igualtat es compleix en la condició anterior s'anomena cas conservador, altrament no-conservador. L'albedo és donat per ${\displaystyle \omega _{o}=2\Psi (\mu )={\text{constant}}}$. Chandrasekhar va obtenir una forma alternativa que és més útil per calcular numèricament la funció H, derivant per iteració de la següent manera:

${\displaystyle {\frac {1}{H(\mu )}}=\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \right]^{1/2}+\int _{0}^{1}{\frac {\mu '\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}H(\mu ')\,d\mu '}$.

En el cas conservador, l'equació anterior es redueix a:

${\displaystyle {\frac {1}{H(\mu )}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mu '\Psi (\mu ')}{\mu +\mu '}}H(\mu ')d\mu '}$.

La funció H es pot aproximar fins a un ordre ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle H(\mu )={\frac {1}{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}}{\frac {\prod _{i=0}^{n}(\mu +\mu _{i})}{\prod _{\alpha }(1+k_{\alpha }\mu )}}}$

on ${\displaystyle \mu _{i}}$ són els zeros dels polinomis de Legendre ${\displaystyle P_{2n}}$ i ${\displaystyle k_{\alpha }}$ són les arrels positives i no desaparegudes de l'equació característica associada

${\displaystyle 1=2\sum _{j=1}^{n}{\frac {a_{j}\Psi (\mu _{j})}{1-k^{2}\mu _{j}^{2}}}}$

on ${\displaystyle a_{j}}$ són els pesos de quadratura donats per

${\displaystyle a_{j}={\frac {1}{P_{2n}'(\mu _{j})}}\int _{-1}^{1}{\frac {P_{2n}(\mu _{j})}{\mu -\mu _{j}}}\,d\mu _{j}}$

En variable complexa ${\displaystyle z}$, les equacions H són:

${\displaystyle H(z)=1-\int _{0}^{1}{\frac {z}{z+\mu }}H(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu ,\quad \int _{0}^{1}|\Psi (\mu )|\,d\mu \leq {\frac {1}{2}},\quad \int _{0}^{\delta }|\Psi (\mu )|\,d\mu \rightarrow 0,\ \delta \rightarrow 0}$

llavors per ${\displaystyle \Re (z)>0}$, una solució única ve donada per

${\displaystyle \ln H(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{+i\infty }\ln T(w){\frac {z}{w^{2}-z^{2}}}\,dw}$

on la part imaginària de la funció ${\displaystyle T(z)}$ pot desaparèixer si ${\displaystyle z^{2}}$ és real; per exemple, ${\displaystyle z^{2}=u+iv=u\ (v=0)}$. Llavors s'obté

${\displaystyle T(z)=1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu -2\int _{0}^{1}{\frac {\mu ^{2}\Psi (\mu )}{u-\mu ^{2}}}\,d\mu }$

La solució anterior és única i està delimitada en l'interval ${\displaystyle 0\leq z\leq 1}$ per a casos conservadors. En casos no-conservadors, si l'equació ${\displaystyle T(z)=0}$ admet les arrels ${\displaystyle \pm 1/k}$, hi ha una altra solució:

${\displaystyle H_{1}(z)=H(z){\frac {1+kz}{1-kz}}}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}H(\mu )\Psi (\mu )\,d\mu =1-\left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \right]^{1/2}}$. Per als casos conservadors, això es redueix a ${\displaystyle \int _{0}^{1}\Psi (\mu )d\mu ={\frac {1}{2}}}$.
• ${\displaystyle \left[1-2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\,d\mu \right]^{1/2}\int _{0}^{1}H(\mu )\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu +{\frac {1}{2}}\left[\int _{0}^{1}H(\mu )\Psi (\mu )\mu \,d\mu \right]^{2}=\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}\,d\mu }$. Per als casos conservadors, això es redueix a ${\displaystyle \int _{0}^{1}H(\mu )\Psi (\mu )\mu d\mu =\left[2\int _{0}^{1}\Psi (\mu )\mu ^{2}d\mu \right]^{1/2}}$.
• Si la funció característica és ${\displaystyle \Psi (\mu )=a+b\mu ^{2}}$, on ${\displaystyle a,b}$ són dues constants (s'han de satisfer ${\displaystyle a+b/3\leq 1/2}$) i si ${\displaystyle \alpha _{n}=\int _{0}^{1}H(\mu )\mu ^{n}\,d\mu ,\ n\geq 1}$ és el n-èsim moment de la funció H, llavors tenim

${\displaystyle \alpha _{0}=1+{\frac {1}{2}}(a\alpha _{0}^{2}+b\alpha _{1}^{2})}$

i

${\displaystyle (a+b\mu ^{2})\int _{0}^{1}{\frac {H(\mu ')}{\mu +\mu '}}\,d\mu '={\frac {H(\mu )-1}{\mu H(\mu )}}-b(\alpha _{1}-\mu \alpha _{0})}$

• Funció X i Y de Chandrasekhar

• Funció MATLAB per calcular la funció H (anglès)