Integral de Txebixov

La integral de Txebixov está donada per

Integral de Txebixov

$\int _{0}^{x}x^{p}(1-x)^{q}dx=B(x;1+p,1+q)$ ,

Pafnuti L. Txebixov (1821-1894)

on $B(x;a,b)$ és la funció beta incompleta.

Teorema d'integració dels binomis diferencials

Txebixov va demostrar que les integrals indefinides binòmiques de la forma:^[1]

\int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx

són funcions elementals únicament si almenys una de les expressions $\scriptstyle p$ , $\scriptstyle ({\frac {m+1}{n}})$ o $\scriptstyle p+({\frac {m+1}{n}})$ és un número enter. En un altre cas, no poden representar-se en termes de funcions elementals.^[2]

Exemple

$\int x^{3}(1+2x^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx$ on $p=-{\frac {3}{2}}$ , $n=2$ i $m=3$ , o sigui, ${\frac {m+1}{n}}={\frac {3+1}{2}}=2$ .

Llavors, $1+2x^{2}=z^{2}\longrightarrow x={\sqrt {\frac {z^{2}-1}{2}}}\longrightarrow dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}dz$ .

Per tant, $F(x)=\int {\bigg (}{\frac {z^{2}-1}{2}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}(z^{2})^{-{\frac {3}{2}}}z(z^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}dz={\frac {1}{4}}\int z^{-2}(z^{2}-1)dz={\frac {1}{4}}\int {\biggl (}1-{\frac {1}{z^{2}}}{\biggl )}dz={\frac {1}{4}}{\biggr (}z+{\frac {1}{z}}{\biggr )}+C={\frac {1}{4}}{\biggr (}{\sqrt {1+2x^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}{\biggr )}+C.$

Referències

↑ Michiel Hazewinkel (ed.). Differential binomial. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
↑ Michiel Hazewinkel (ed.). Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

Bibliografia

Weisstein, Eric W., «Chebyshev Integral» a MathWorld (en anglès).

[1] Michiel Hazewinkel (ed.). Differential binomial. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

[2] Michiel Hazewinkel (ed.). Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

[1]

[2]