Ordinal successor

En teoria de conjunts, el successor d'un nombre ordinal ${\displaystyle \alpha }$ és el mínim nombre ordinal més gran que ${\displaystyle \alpha }$. Un nombre ordinal que és successor s'anomena ordinal successor. Els ordinals ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ i ${\displaystyle 3}$ són els tres primers ordinals successors i els ordinals ${\displaystyle \omega +1}$, ${\displaystyle \omega +2}$ i ${\displaystyle \omega +3}$ són els tres primers ordinals successors infinits.

Tot ordinal diferent de 0 és un ordinal successor o un ordinal límit.^[1]

Utilitzant els nombres ordinals de von Neumann (el model estàndard dels ordinals utilitzats en teoria de conjunts), el successor ${\displaystyle S(\alpha )}$ d'un nombre ordinal ${\displaystyle \alpha }$ ve donat per la fórmula

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.}$

Com que l'ordre dels nombres ordinals ve donat per ${\displaystyle \alpha <\beta }$ si i només si ${\displaystyle \alpha \in \beta }$, és immediat veure que no hi ha cap nombre ordinal entre ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle S(\alpha )}$, i també és clar que ${\displaystyle \alpha <S(\alpha )}$.

L'operació successora es pot utilitzar per definir l'addició ordinal de forma rigorosa mitjançant recursivitat transfinita de la següent manera:

${\displaystyle \alpha +0=\alpha \!}$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}$

i per a un ordinal límit ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )}$

En particular, ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha +1}$. La multiplicació i l'exponenciació ordinal es defineixen de forma similar.

Els punts successors i zero són els punts aïllats de la classe dels nombres ordinals respecte a la topologia de l'ordre.^[2]

• Aritmètica ordinal