Un segment circular o segment d'un cercle és en geometria la porció d'un cercle limitada per una corda i l'arc corresponent.
Un segment circular (en verd) està comprès entre una recta secant o corda (la línia discontínua) i l'arc els punts extrems són els de la corda. Sigui R el radi del cercle , θ l'angle central, c la longitud de la corda, s la longitud de l'arc, h l'alçada del segment circular, i d l'altura de la porció triangular .
El radi és
R
=
h
+
d
{\displaystyle R=h+d{\frac {}{}}}
La longitud de l'arc és
s
=
R
⋅
θ
{\displaystyle s=R\cdot \theta }
θ
{\displaystyle \theta \,}
radians .
La longitud de la corda és
c
=
2
R
sin
θ
2
=
R
2
−
2
cos
θ
{\displaystyle c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}}
L'altura és
h
=
R
(
1
−
cos
θ
2
)
{\displaystyle h=R(1-\cos {\frac {\theta }{2}})}
L'angle és
θ
=
2
arccos
d
R
{\displaystyle \theta =2\arccos {\frac {d}{R}}}
L'àrea del segment circular és igual a l'àrea del sector circular menys l'àrea de la porció triangular.
A
=
π
R
2
⋅
θ
2
π
−
R
2
sin
θ
2
=
R
2
2
(
θ
−
sin
θ
)
{\displaystyle A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}-{\frac {R^{2}\sin \theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}
Demostració alternativa L'àrea del sector circular és:
A
=
π
R
2
⋅
θ
2
π
=
R
2
⋅
θ
2
{\displaystyle A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {R^{2}\cdot \theta }{2}}}
Si es bisecciona l'angle
θ
{\displaystyle \theta }
R
sin
θ
2
⋅
R
cos
θ
2
=
R
2
sin
θ
2
cos
θ
2
{\displaystyle R\sin {\frac {\theta }{2}}\cdot R\cos {\frac {\theta }{2}}=R^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}
Atès que l'àrea del segment és l'àrea del sector menys l'àrea de la porció triangular, s'obtenen
A
=
R
2
(
θ
2
−
sin
θ
2
cos
θ
2
)
{\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}
D'acord amb la identitat trigonomètrica d'angle doble
sin
2
θ
=
2
sin
θ
cos
θ
{\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \,}
sin
θ
2
cos
θ
2
=
1
2
sin
θ
{\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}\sin \theta }
amb el que resulta que l'àrea és:
A
=
R
2
(
θ
2
−
1
2
sin
θ
)
=
R
2
2
(
θ
−
sin
θ
)
{\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin \theta \right)={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}
