Transformació ortogonal

En matemàtiques, una transformació ortogonal és una transformació lineal ${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ (on ${\displaystyle V}$ és un espai prehilbertià) tal que conserva el producte escalar d'aquest espai.^[1] És a dir, que per tot parell d'elements ${\displaystyle u,v\in V}$ es compleix ${\displaystyle \langle u,v\rangle =\langle Tu,Tv\rangle }$. En particular, com que els mòduls dels vectors i l'angle entre aquests en un espai prehilbertià es defineixen a partir del producte escalar, les transformacions ortogonals preserven els mòduls i els angles i, per tant, envien les bases ortonormals a bases ortonormals.

Si prenem com a ${\displaystyle V}$ l'espai real euclidià de dimensió 2 amb el producte escalar estàndard i la seva base canònica, ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$, aleshores la transformació ${\displaystyle T}$ donada per la matriu de transformació

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

és ortogonal. Per demostrar-ho, n'hi ha prou amb aplicar-la sobre els vectors de la base canònica:

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}&&Te_{2}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

I veure que

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle Te_{1},Te_{1}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0\\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end{aligned}}}$

En l'espai real euclidià de dimensió 3 amb el producte escalar estàndard i la seva base canònica, ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$, alguns exemples de matrius de transformacions ortogonals són ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$ i ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$.