Transformada discreta de Txebixov

En matemàtiques aplicades, una transformada discreta de Txebixov (DCT) és un anàleg de la transformada discreta de Fourier per a una funció d'un interval real, convertint en qualsevol direcció entre els valors de la funció en un conjunt de nodes de Txebixov i coeficients d'una funció en base polinomial de Txebixov. Igual que els polinomis de Txebixov, rep el nom de Pafnuti Txebixov.^[1]

Els dos tipus més comuns de transformades discretes de Txebixov utilitzen la graella de zeros de Txebixov, els zeros dels polinomis de Txebixov del primer tipus. ${\displaystyle T_{n}(x)}$ i la graella de Txebixov extrema, l'extrem dels polinomis de Txebixov del primer tipus, que també són els zeros dels polinomis de Txebixov del segon tipus ${\displaystyle U_{n}(x)}$. Ambdues transformacions donen lloc a coeficients de polinomis de Txebixov del primer tipus.^[2]

Altres transformacions discretes de Txebixov impliquen quadrícules i coeficients relacionats de polinomis de Txebixov del segon, tercer o quart tipus.^[3]

La transformada discreta de Txebixov de u(x) en els punts ${\displaystyle {x_{n}}}$ ve donada per:^[4]

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})T_{m}(x_{n})}$

on:

${\displaystyle x_{n}=-\cos \left({\frac {\pi }{N}}(n+{\frac {1}{2}})\right)}$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos \left(m\cos ^{-1}(x_{n})\right)}$

on ${\displaystyle p_{m}=1\Leftrightarrow m=0}$ i ${\displaystyle p_{m}=2}$ altrament.

Utilitzant la definició de ${\displaystyle x_{n}}$ ,

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos \left({\frac {m\pi }{N}}(N+n+{\frac {1}{2}})\right)}$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})(-1)^{m}\cos \left({\frac {m\pi }{N}}(n+{\frac {1}{2}})\right)}$

i la seva transformada inversa:

${\displaystyle u_{n}=\sum _{m=0}^{N-1}a_{m}T_{m}(x_{n})}$

Això es pot demostrar amb el següent codi MATLAB :

function a=fct(f, l)
% x =-cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2));

f = f(end:-1:1,:);
A = size(f); N = A(1); 
if exist('A(3)', 'var') && A(3)~=1
 for i=1:A(3)
 a(:,:,i) = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
 a(1,:,i) = a(1,:,i) / sqrt(2);
 end
else
 a = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
 a(1,:)=a(1,:) / sqrt(2);
end

De fet, la transformada discreta del cosinus (dct) es calcula utilitzant un algorisme ràpid de transformada de Fourier a MATLAB. I la transformada inversa ve donada pel codi MATLAB:

function f=ifct(a, l)
% x = -cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2)) 
k = size(a); N=k(1);

a = idct(sqrt(N/2) * [a(1,:) * sqrt(2); a(2:end,:)]);

end