Heegner-getal

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Heegner-getal een positief, kwadraatvrij geheel getal ${\displaystyle d}$, zodanig dat het imaginaire kwadratische veld ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ een klassegetal van 1 heeft. Equivalent daarmee is dat de ring van de gehele getallen van ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ een uniek factorisatiedomein heeft.^[1]

De bepaling van zulke getallen is een speciaal geval van het klassegetalprobleem. De Heegner-getallen liggen ten grondslag aan diverse opvallende resultaten in de getaltheorie.

Volgens de stelling van Stark-Heegner bestaan er precies negen Heegner-getallen:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

Dit resultaat werd reeds vermoed door Gauss en werd in 1952 bewezen door Kurt Heegner.

Eulers priemgetal-genererende veelterm

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

die (verschillende) priemgetallen geeft voor n = 0, ...,39, is gerelateerd aan het Heegner-getal 163 = 4 · 41 - 1.

Rabinowitz^[2] bewees dat

${\displaystyle n^{2}+n+p\,}$

priemgetallen geeft voor ${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$ dan en slechts dan als de discriminant ${\displaystyle 1-4p}$ gelijk is aan minus een Heegner-getal.

(Merk op dat ${\displaystyle p-1}$ hier ${\displaystyle p^{2}}$ oplevert en dat ${\displaystyle p-2}$ dus maximaal is.) 1, 2 en 3 zijn niet van de vereiste vorm. De Heegner-getallen die werken zijn ${\displaystyle 7,11,19,43,67,163}$, wat priemgetal-genererende functies van Euler-vorm geeft voor ${\displaystyle 2,3,5,11,17,41}$; deze laatste nummers worden door F. Le Lionnais geluksgetallen van Euler genoemd.^[3].

• (en) Heegner-getal op MathWorld
• (en) Gauss zijn klassegetal probleem voor imaginaire kwadratische velden door Dorian Goldfeld: Gedetailleerde geschiedenis van het probleem.