Éclatement (mathématiques)

En mathématiques, un éclatement est un type d'application birationnelle entre variétés analytiques (en) ou algébriques

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

qui est un isomorphisme en dehors de sous-variétés propres

${\displaystyle E\subset X,\ D\subset Y.}$

Le cas le plus simple est celui où ${\displaystyle D}$ est un point ; ${\displaystyle E}$ est alors un diviseur isomorphe à un espace projectif.

L'éclatement de l'origine dans ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ s'obtient de la façon suivante. Soit ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ l'espace projectif de dimension ${\displaystyle n-1}$ muni de coordonnées ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$. Soit ${\displaystyle X}$ le sous-ensemble de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}}$ défini par les équations ${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$ pour ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$. La projection

${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {C} ^{n}}$

induit une application

${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} ^{n}}$

qui est un éclatement de l'origine.

• (en) Phillip Griffiths et Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry, New York, John Wiley & Sons, 1978, 813 p. (ISBN 0-471-32792-1)
• (en) Robin Hartshorne, Algebraic Geometry [détail des éditions]

• Singularité (mathématiques)
• Schéma (géométrie algébrique)

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