Équation aux q-différences

En mathématiques, les équations aux q-différences forment une famille d'équations fonctionnelles dont l'étude est apparentée à celle des équations différentielles.

Dans une équation aux q-différences, le paramètre q est un nombre complexe dont le module est en général supposé différent de 1 (certains auteurs exigeant que ce module soit strictement supérieur à 1, d'autre qu'il soit strictement inférieur à 1). Sur un espace de fonctions de variable complexe, l'opérateur aux q-différences est défini par :

${\displaystyle \sigma _{q}(f)(z)=f(qz).}$

Il joue un rôle analogue à celui de l'opérateur de dérivation dans les équations différentielles. Ainsi, une fonction satisfaisant l'équation :

${\displaystyle \sigma _{q}(f)=f,}$

qu'on peut récrire sous la forme

${\displaystyle \delta _{q}(f)=0,}$

en posant ${\displaystyle \delta _{q}(f)={\frac {\sigma _{q}(f)-f}{q-1}}}$, jouera le rôle d'une fonction constante : les fonctions vérifiant cette équation, dans le corps des fonctions méromorphes sur ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}}$, s'identifient au corps des fonctions méromorphes sur la courbe elliptique ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}/q^{\mathbf {Z} }}$, donc à un corps de fonctions elliptiques. Une équation (ou système) sera dit linéaire si elle est de la forme :

${\displaystyle \sigma _{q}(f)(z)=A(z)f(z),}$

où f est ici un vecteur de fonctions, et A une matrice.

Comme l'opérateur aux q-différences n'a que deux points fixes sur la sphère de Riemann (0 et ∞), l'étude locale des solutions ne se fait qu'au voisinage de ces deux points.

L'étude des équations aux q-différences se fait suivant plusieurs axes, similaires à certains axes pour l'étude des équations différentielles :

• l'étude des équations linéaires : on cherche à ramener une équation linéaire ${\displaystyle \sigma _{q}(f)(z)=A(z)f(z)}$ à une équation à coefficients constants ${\displaystyle \sigma _{q}(f)(z)=B.f(z)}$, avec B une matrice inversible à coefficients complexes. Ceci est possible via des transformations de jauge, et sous des conditions techniques sur les coefficients de l'équation initiale. En décomposant la matrice B par l'algèbre linéaire, on ramène alors la résolution d'un tel système à la résolution des équations des caractères, pour c complexe :

${\displaystyle \sigma _{q}(f)=c.f,}$

dont la solution joue un rôle analogue à la fonction caractère ${\displaystyle x\mapsto x^{c}}$ dans la théorie différentielle ; et une équation du logarithme :

${\displaystyle \sigma _{q}(f)=f+1.}$

Ces équations sont résolues à l'aide la fonction thêta de Jacobi.

• L Di Vizio, J.P. Ramis, J. Sauloy, C. Zhang, Equations aux q-différences, paru dans La Gazette des mathématiciens, n^o 96, 2003.

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