(p, q)-shuffle

En mathématiques, pour deux entiers naturels ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$, un (${\displaystyle {\boldsymbol {p,q}}}$)-shuffle^[1] est^[2],[3] un élément ${\displaystyle \sigma }$ du groupe symétrique ${\displaystyle S_{p+q}}$ des permutations de l'ensemble ${\displaystyle \{1,...,p+q\}}$^[4], tel que

${\displaystyle \sigma (1)<\ldots <\sigma (p)\quad {\rm {et}}\quad \sigma (p+1)<\ldots <\sigma (p+q).}$

Les ${\displaystyle (p,q)}$-shuffles sont en bijection avec — et parfois définis comme^[3],[5] — les partitions de l'ensemble ${\displaystyle p+q-1}$ = ${\displaystyle \{0,...,p+q-1\}}$ en deux sous-ensembles complémentaires ${\displaystyle \mu ,\nu }$ à ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ éléments, numérotés en croissant :

${\displaystyle \mu _{1}<\ldots <\mu _{p}\quad {\rm {et}}\quad \nu _{1}<\ldots <\nu _{q}.}$

Leur nombre est donc égal au coefficient binomial

${\displaystyle {p+q \choose p}}$

et la signature de la permutation ${\displaystyle \sigma }$ associée à la partition ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ est égale à^[3]

${\displaystyle (-1)^{\varepsilon (\mu )},\quad {\rm {avec}}\quad \varepsilon (\mu )=\sum _{i=1}^{p}(\mu _{i}-(i-1)).}$

Le produit extérieur de deux formes multilinéaires alternées, une ${\displaystyle p}$-forme et une ${\displaystyle q}$-forme, peut être défini comme une somme indexée par l'ensemble des (${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$)-shuffles et pondérée par leurs signatures.

Le shuffle, ou « produit de mélange », ou « application d'Eilenberg-MacLane^[6] », défini de façon analogue, intervient dans une démonstration explicite du théorème d'Eilenberg-Zilber, comme quasi-isomorphisme réciproque de l'application d'Alexander-Whitney^[3],[5],[6].

Le même type de sommes permet de munir l'algèbre tensorielle d'un espace vectoriel d'une structure de bigèbre.

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