22 / 7 dépasse π

Les démonstrations du célèbre résultat mathématique selon lequel le nombre rationnel 22/7 est supérieur à π remontent à l'Antiquité. Stephen Lucas qualifie cette proposition de « l'un des plus beaux résultats liés à l'approximation de π^[1] ». Julian Havil (de) met fin à une discussion sur les fractions approchant π avec ce résultat, le décrivant comme « impossible de ne pas être mentionné » dans ce contexte^[2].

Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22/7 est en effet plus grand que π ; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de π existent. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22/7 > π, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Sa simplicité et son élégance résultent de ses liens avec la théorie des approximations diophantiennes.

Une approximation diophantienne simple et courante de la valeur de π est 22/7. En effet, on peut voir que :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3{,}{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3{,}141\,592\,65\ldots \end{aligned}}}$

Archimède avait démontré que 22/7 surestimait π au cours de III^e siècle av. J.-C. mais utilisait cette approximation^[3].

Une meilleure approximation rationnelle de π est donnée par 355/113 (approximation appelée Milü (en)).

Une démonstration moderne de cette inégalité peut se faire par le calcul de l'intégrale

${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x={\frac {22}{7}}-\pi .}$

Le nombre ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x}$ est strictement positif car la fonction ${\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}}$ est continue et strictement positive sur l'intervalle ]0 ; 1[.

Il reste à démontrer que l'intégrale a effectivement pour valeur la quantité désirée :

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x}$	(développement du numérateur)
	${\displaystyle =\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\mathrm {d} x}$	(Division euclidienne d'un polynôme)
	${\displaystyle =\left[{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan x\,\right]_{0}^{1}}$	(intégration définie)
	${\displaystyle ={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \ ={\frac {22}{7}}-\pi .}$	(addition)

Dalzell^[4] donne un résultat plus fin en bornant la différence avec l'étude du dénominateur. On a ainsi

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}~\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}~\mathrm {d} x}$

ce qui donne après calcul

${\displaystyle {\frac {1}{1\;260}}<{\frac {22}{7}}-\pi <{\frac {1}{630}}.}$

Comme discuté dans Lucas 2005, l'approximation diophantienne connue et bien meilleure 355/113 pour π peut se déduire de l'identité

${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,\mathrm {d} x={\frac {355}{113}}-\pi .}$

avec

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3,141\,592\,92\ldots ,}$

avec une erreur à la 7^e décimale. On peut également borner par :

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+1\right)}}\,\mathrm {d} x={\frac {911}{5\,261\,111\,856}}<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{6328}}\,\mathrm {d} x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+0\right)}}\,\mathrm {d} x={\frac {911}{2\,630\,555\,928}}}$

On peut généraliser l'idée développée dans les calculs d'intégrales précédentes pour obtenir de meilleures approximations de π; voir Backhouse 1995^[5] et Lucas 2005 (les deux références ne donnent aucun calcul). Pour des calculs explicites, on considère, pour tout entier n ≥ 1,

${\displaystyle {\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,\mathrm {d} x<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,\mathrm {d} x,}$

où l'intégrale du terme du milieu vaut :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-2}}}&\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\[6pt]={}&\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}(8n-j-1){\binom {8n-j-2}{4n+j}}}}+(-1)^{n}\left(\pi -4\sum _{j=0}^{3n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2j+1}}\right)\end{aligned}}}$

impliquant π. La dernière somme apparait également dans la formule de Leibniz pour π. Le terme de correction et la borne d'erreur sont donnés par :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,\mathrm {d} x&={\frac {1}{2^{2n-1}(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}\\[6pt]&{\underset {n\rightarrow +\infty }{\sim }}\,{\frac {\sqrt {\pi n}}{2^{10n-2}(8n+1)}},\end{aligned}}}$

où l'équivalent se déduit de l'approximation du coefficient binomial central par la formule de Stirling et montre la convergence rapide vers π.

On détaille le calcul de ces intégrales : pour tous entiers k ≥ 0 et ℓ ≥ 2 on a

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{k}(1-x)^{\ell }&=(1-2x+x^{2})x^{k}(1-x)^{\ell -2}\\[6pt]&=(1+x^{2})\,x^{k}(1-x)^{\ell -2}-2x^{k+1}(1-x)^{\ell -2}.\end{aligned}}}$

En appliquant cette identité récursivement 2n fois, il vient :

${\displaystyle x^{4n}(1-x)^{4n}=\left(1+x^{2}\right)\sum _{j=0}^{2n-1}(-2)^{j}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2(j+1)}+(-2)^{2n}x^{6n}.}$

De plus,

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{6n}-(-1)^{3n}&=\sum _{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\[6pt]&=\sum _{j=0}^{3n-1}\left((-1)^{3n-(j+1)}x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}\right)\\[6pt]&=-(1+x^{2})\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j},\end{aligned}}}$

où la première égalité se vérifie par téléscopage des termes pour 1 ≤ j ≤ 3n – 1, et par décalage d'indice j → j + 1 dans la première somme.

En utilisant ces deux résultats :

${\displaystyle {\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{2^{2n-2}(1+x^{2})}}=\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}}}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}-4\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}{\frac {4}{1+x^{2}}}.\qquad (1)}$

Pour des entiers k, ℓ ≥ 0, en faisant une intégration par parties ℓ fois, on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{k}(1-x)^{\ell }\,\mathrm {d} x&={\frac {\ell }{k+1}}\int _{0}^{1}x^{k+1}(1-x)^{\ell -1}\,\mathrm {d} x\\[6pt]&\,\,\,\vdots \\[6pt]&={\frac {\ell }{k+1}}{\frac {\ell -1}{k+2}}\cdots {\frac {1}{k+\ell }}\int _{0}^{1}x^{k+\ell }\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{(k+\ell +1){\binom {k+\ell }{k}}}}.\qquad (2)\end{aligned}}}$

En prenant k = ℓ = 4n, on a

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}.}$

En intégrant l'équation (1) entre 0 et 1 avec l'équation (2) et en utilisant arctan(1) = π/4, on en déduit l'équation voulue impliquant π.

Les résultats pour n = 1 sont donnés supra. Pour n = 2 on a

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\pi -{\frac {47\,171}{15\,015}}}$

et

${\displaystyle {\frac {1}{8}}\int _{0}^{1}x^{8}(1-x)^{8}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{1\,750\,320}},}$

ce qui donne 3,141 592 31 < π < 3,141 592 89, où les chiffres en gras des bornes coïncident avec celles de π.

De même, pour n = 3,

${\displaystyle {\frac {1}{16}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{12}\left(1-x\right)^{12}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-\pi }$

avec un erreur égale à

${\displaystyle {\frac {1}{32}}\int _{0}^{1}x^{12}(1-x)^{12}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2\,163\,324\,800}},}$

soit 3,141 592 653 40 < π < 3,141 592 653 87.

Pour n = 4, on a

${\displaystyle {\frac {1}{64}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{16}(1-x)^{16}}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\pi -{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}}$

avec

${\displaystyle {\frac {1}{128}}\int _{0}^{1}x^{16}(1-x)^{16}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}},}$

ce qui donne comme valeurs approchées 3,141 592 653 589 55 < π < 3,141 592 653 589 96.

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