37 (nombre)

Le nombre 37 (trente-sept) est l'entier naturel qui suit 36 et qui précède 38.

Le nombre 37 est :

• un nombre premier,
• le premier nombre premier irrégulier,
• le neuvième nombre premier non brésilien,
• un nombre premier cousin avec 41,
• un nombre premier unique en tant que nombre premier cubain de la forme ${\displaystyle p=(x^{3}-y^{3})/(x-y),x=y+1\,}$.
• un diviseur de tous les nombres uniformes à trois chiffres en base 10, tels que 111,
• un nombre hexagonal centré et un nombre étoilé.

Autres propriétés :

• Chaque entier naturel est la somme d'au plus 37 puissances cinquièmes (voir problème de Waring) ; le plus petit nombre nécessitant 37 puissances cinquièmes est 223.
• Critère de divisibilité et reste dans la division par 37 en base 10 :

Soit ${\displaystyle N}$ un entier s'écrivant à l'aide de ${\displaystyle 3n}$ chiffres, ${\displaystyle N={\overline {a_{3n-1}a_{3n-2}...a_{1}a_{0}}}}$ ; alors le reste dans la division de ${\displaystyle N}$ par 37 est le même que celui de la somme alternée ${\displaystyle -{\overline {a_{3n-1}a_{3n-1}}}+{\overline {a_{3n-2}a_{3n-3}}}-...+{\overline {a_{4}a_{3}}}-{\overline {a_{2}a_{2}}}+{\overline {a_{1}a_{0}}}}$.

En particulier, si cette somme alternée est égale à 0, ${\displaystyle N}$ est un multiple de 37.

Exemple : modulo 37, ${\displaystyle 478534\equiv -44+78-55+34=112-99=13}$.

Ceci vient de ce que ${\displaystyle 111=3\times 37}$, donc, modulo 37, ${\displaystyle 100\equiv -11}$, et ${\displaystyle 999=27\times 37}$, donc ${\displaystyle 1000\equiv 1}$.

• Si ce même ${\displaystyle N}$ est un multiple de 37, alors le nombre qui s'écrit comme permuté circulaire (vers la gauche) de ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle N'=10(N-a_{3n-1}10^{3n-1})+a_{3n-1}}$ est également multiple de 37, car ${\displaystyle 10^{3n}=1000^{n}\equiv 1\mod 37}$ ; par exemple 148 est multiple de 37, donc 481 et 814 également.
• Le nombre obtenu en intercalant un zéro entre chacun des couples de chiffres d'un nombre divisible par 37 puis en le retournant est aussi divisible par 37 ; par exemple, 148 donne le multiple de 37 : 80401^[1].

Si ${\displaystyle N=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{k}}$, le nombre transformé est ${\displaystyle N'=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{2n-2k}}$ et ${\displaystyle 10^{n}N'=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{3n-2k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{3(n-k)+k}\equiv \sum _{k=0}^{n}a_{k}10^{k}=N\equiv 0}$, et comme ${\displaystyle 10^{n}\not \equiv 0}$, ${\displaystyle N'\equiv 0}$.

• La probabilité qu'une permutation de ${\displaystyle n}$ objets ne laisse aucun objet à sa place vaut, à partir de ${\displaystyle n=5}$, environ 37%, valeur approchée de ${\displaystyle 1/\mathrm {e} }$.

Le nombre 37 est aussi :

• Le numéro atomique du rubidium, un métal alcalin. Masse atomique du rubidium : 85.468 ; 5^e période, 1^er groupe ; 8+5+4+6+8+5+1=37
• le numéro de la sourate As-Saaffat dans le Coran.
• La température moyenne du corps humain en °C.
• Une partie de l'indicatif téléphonique international pour appeler plusieurs petits pays européens.
• Le n° du département français, l'Indre-et-Loire.
• En France, le nombre d'années de mariage des noces de papier.
• Le nombre d'emplacements de la roulette européenne.
• Le nombre utilisé dans un certain tour de magie. Dans ce tour, le magicien demande à une personne de penser à un nombre qui rassemble les critères suivants :
  • être compris entre 1 et 50,
  • avoir deux chiffres tous les deux impairs différents.

Seulement huit nombres remplissent ces conditions : 13, 15, 17, 19, 31, 35, 37, et 39. Statistiquement, les gens prendront 37 parmi tous les autres nombres. Par conséquent, le magicien peut utiliser cette probabilité pour créer un effet de télépathie. Bien sur, il ne marche pas toujours, mais quand cela se passe, il donne un très bon effet.

• Il existe des références récurrentes du nombre 37 dans les films de Kevin Smith.
• Années historiques : -37, 37 ou 1937.
• Ligne 37 

Le nombre 37 est également :

• La célèbre erreur de connexion^{[C'est-à-dire ?]} rencontrée sur les serveurs d'authentification du jeu Diablo III.
• Un des personnages du jeu vidéo Reverse:1999.

• Arithmétique et théorie des nombres