Côté droit

Historiquement, le vocabulaire fut :

• En géométrie, le côté droit (en latin : latus rectum) ou paramètre d'une conique est la corde passant par le foyer de la conique, perpendiculaire à son grand axe et dont les extrémités sont deux points de la courbe.
• Le demi-côté droit (en latin : semilatus rectum) ou demi-paramètre est la moitié du côté droit ou paramètre.

De nos jours, on appelle paramètre le demi-côté droit.

Le paramètre est noté ${\displaystyle p}$ ou ${\displaystyle l}$^[1],[2].

Le paramètre ${\displaystyle p}$ d'une conique est défini à partir de l'équation cartésienne réduite d'une parabole^[3],[4] :

${\displaystyle y^{2}=2px}$,

où ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée du sommet de la parabole.

L'équation précédente (1) se généralise à toute conique par^[5] :

${\displaystyle y^{2}=2px+\lambda x^{2}}$,

avec ${\displaystyle \lambda x^{2}=0}$ pour une parabole, ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ pour une conique à centre, ${\displaystyle \lambda <0}$ pour une ellipse et ${\displaystyle \lambda >0}$ pour une hyperbole.

En effet, l'équation cartésienne réduite d'une conique à centre est^[6] :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$,

où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de la conique à centre et avec le signe ${\displaystyle +}$ si celle-ci est une ellipse ou la signe ${\displaystyle -}$ si elle est une hyperbole.

En comparant à la première équation (1), l'équation précédente (3) s'écrit^[7] :

${\displaystyle y^{2}=2px\mp {\frac {p}{a}}x^{2}}$,

où ${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}$ est la paramètre d'une conique à centre et avec le signe ${\displaystyle -}$ si celle-ci est une ellipse ou le signe ${\displaystyle +}$ si elle est une hyperbole.

En comparant l'équation précédente (4) avec la deuxième équation (2) :

${\displaystyle \lambda =-{\frac {p}{a}}}$ pour une ellipse et ${\displaystyle \lambda ={\frac {p}{a}}}$ pour une hyperbole.

Une conique est une courbe plane qui admet l'équation polaire^[8],[9] :

${\displaystyle \rho ={\frac {p}{1+e\cos \theta }}}$,

où ${\displaystyle \rho }$ et ${\displaystyle \theta }$ sont les coordonnées polaires, ${\displaystyle p}$ est le paramètre de la conique et ${\displaystyle e}$ est son excentricité.

Le paramètre et l'excentricité d'une conique sont reliés par^[10] :

${\displaystyle p=ed}$,

où ${\displaystyle d}$ est la distance d'un foyer à la directrice associée.

Le paramètre d'une conique à centre — c.-à-d. d'une ellipse ou d'une hyperbole^[11] — est relié au demi-grand axe ${\displaystyle a}$ et à au demi-petit axe ${\displaystyle b}$ de celle-ci par^[10] :

${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}$.

Le paramètre est une des notions introduites par^[12],[13] Apollonios de Perga, géomètre et astronome grec, élève d'Euclide^[14]. Il le nomme όρθια πλευρά^[15], d'abord traduit en latin par latus erectum puis corrigé en latus rectum^[16],[17].

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• (en) Eric W. Weisstein, « latus rectum » , sur MathWorld.
• (en) Eric W. Weisstein, « semilatus rectum » , sur MathWorld.

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