Catégorie groupoïde

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories et en topologie algébrique, la notion de groupoïde généralise à la fois les notions de groupe, de relation d'équivalence sur un ensemble, et de l'action d'un groupe sur un ensemble. Elle a été initialement développée par Heinrich Brandt en 1927^[1].

Les groupoïdes sont souvent utilisés pour représenter certaines informations sur des objets topologiques ou géométriques comme les variétés.

Un groupoïde est une petite catégorie dans laquelle tout morphisme est un isomorphisme.

Un groupoïde G est un ensemble muni de deux opérations : une loi de composition partiellement définie ${\displaystyle *:G\times G\to G}$ et une application (partout définie) ${\displaystyle .^{-1}:G\to G}$, qui satisfont aux trois conditions suivantes sur les éléments f, g et h de G :

• chaque fois que ${\displaystyle f*g}$ et ${\displaystyle g*h}$ sont tous deux définis, alors ${\displaystyle (f*g)*h}$ et ${\displaystyle f*(g*h)}$ sont aussi définis et sont égaux, on les note ${\displaystyle fgh}$ ou ${\displaystyle f*g*h}$. Réciproquement, si ${\displaystyle (f*g)*h}$ ou ${\displaystyle f*(g*h)}$ est défini, il en est de même de ${\displaystyle f*g}$ et ${\displaystyle g*h}$ ;
• ${\displaystyle f^{-1}*f}$ et ${\displaystyle f*f^{-1}}$ sont toujours définis (mais sont éventuellement différents) ;
• chaque fois que ${\displaystyle f*g}$ est défini, alors ${\displaystyle f*g*g^{-1}=f}$, et ${\displaystyle f^{-1}*f*g=g}$ (ces expressions sont bien définies d'après les axiomes précédents).

On montre alors que :

• si ${\displaystyle x*f=u*f}$ alors ${\displaystyle x=u}$ : il suffit en effet de composer à droite par ${\displaystyle f^{-1}}$ ;
• si ${\displaystyle f*y=f*v}$ alors ${\displaystyle y=v}$ : il suffit en effet de composer à gauche par ${\displaystyle f^{-1}}$ ;
• ${\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f}$. En effet, ${\displaystyle (f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f*f^{-1}*(f^{-1})^{-1}=(f^{-1})^{-1}*f^{-1}*f=f}$ ;
• si ${\displaystyle f*g}$ est défini, il en est de même de ${\displaystyle g^{-1}*f^{-1}}$, et ${\displaystyle g^{-1}*f^{-1}=(f*g)^{-1}}$. En effet, ${\displaystyle f=f*g*g^{-1}}$ donc ${\displaystyle f*f^{-1}=f*g*g^{-1}*f^{-1}}$ ce qui suffit à assurer l'existence de ${\displaystyle g^{-1}*f^{-1}}$. Par ailleurs, ${\displaystyle f^{-1}*f*g*(f*g)^{-1}=f^{-1}=f^{-1}*f*f^{-1}=f^{-1}*f*g*g^{-1}*f^{-1}}$ et il suffit de simplifier à gauche ${\displaystyle f^{-1}}$, ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$.

À un groupoïde au sens des catégories, on peut associer le groupoïde au sens algébrique des (iso)morphismes de cette catégorie.

Réciproquement, si G est un groupoïde au sens algébrique, on peut lui associer un groupoïde au sens des catégories de la façon suivante. Les objets de la catégorie associée sont les ${\displaystyle x=f^{-1}*f}$ lorsque ${\displaystyle f}$ varie (on remarque que ces éléments satisfont à ${\displaystyle x^{-1}=x=x^{n}}$ pour tout entier n). L'ensemble des morphismes ${\displaystyle x\to y}$, noté ${\displaystyle G(f^{-1}*f,g^{-1}*g)=G(x,y)}$, est l'ensemble des h tels que ${\displaystyle y*h*x}$ est défini (cet ensemble peut être vide).

• Les groupes sont des groupoïdes (avec un seul objet ${\displaystyle x}$ et pour ensemble de flèches (morphismes) ${\displaystyle G(x,x)=G}$).
• Le groupoïde de Poincaré d'un espace topologique X est un groupoïde : dans la version algébrique, ses éléments sont les classes d'homotopie de chemins sur X.
• Toute réunion disjointe ${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}G_{i}}$ de groupes est un groupoïde, dont l'ensemble des objets est l'ensemble ${\displaystyle I}$ des indices.
• À partir d'une action d'un groupe G sur un ensemble X, on peut définir un groupoïde en posant ${\displaystyle G(x,y)=}$ l'ensemble des éléments du groupe qui envoient x sur y.

Les (petits) groupoïdes forment eux-mêmes une catégorie, les morphismes étant les foncteurs entre groupoïdes. Le groupoïde initial est le groupoïde vide et le groupoïde final est le groupe trivial.

Soit G un groupoïde, on définit la relation d'équivalence ${\displaystyle x\equiv {}\,y}$ si G(x,y) est non vide. Elle définit un groupoïde quotient noté ${\displaystyle \pi _{0}(G)}$. ${\displaystyle \pi _{0}}$ définit un foncteur (composantes connexes) de la catégorie des groupoïdes vers la catégorie des ensembles.

Soient G un groupoïde et ${\displaystyle x}$ un objet de G (on dit aussi un point de G). La loi de composition entre les flèches de ${\displaystyle G(x,x)}$ restreinte à ce sous-groupoïde est une loi de groupe. On note ${\displaystyle \pi _{1}(G,x)}$ ce groupe.

• (en) Ronald Brown, Topology and Groupoids, BookSurge, 2006, 3^e éd., 512 p. (ISBN 978-1-4196-2722-4)

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