Cercles de Soddy d'un triangle

En géométrie eucidienne, les cercles de Soddy d'un triangle sont deux cercles associés à un triangle quelconque du plan. Leurs centres sont appelés les centres de Soddy du triangle. Ils portent le nom de Frederick Soddy, qui a redécouvert en 1936 le théorème de Descartes sur les rayons des quadruplets de cercles tangents^[1],[2], mais leurs propriétés étaient déjà connues en 1876^[3], dans la période de géométrie moderne du triangle.

Tout triangle possède trois cercles tangents extérieurement centrés en ses sommets. Deux autres cercles, appelés cercles de Soddy, sont tangents à ces trois cercles ; leurs centres sont appelés centres de Soddy. La droite passant par les centres de Soddy est la droite de Soddy (en) du triangle. Ces cercles sont liés à de nombreuses autres propriétés remarquables du triangle. On peut généraliser cette relation à des triplets supplémentaires de cercles tangents centrés aux sommets, pour lesquels un cercle entoure les deux autres.

Soient ${\displaystyle A,B,C}$ les trois sommets d'un triangle, ${\displaystyle a,b,c}$ les longueurs des côtés opposés, et ${\textstyle p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ le demi-périmètre. Les trois cercles mutuellement tangents centrés en ${\displaystyle A,B,C}$ ont pour rayons respectifs ${\displaystyle p-a,p-b,p-c}$. D'après le théorème de Descartes, deux autres cercles, parfois appelés cercles de Soddy, sont tangents à ces trois cercles. Les centres de ces deux cercles tangents sont les centres de Soddy du triangle.

Chacun de ces trois cercles centrés aux sommets coupe deux côtés du triangle à angle droit, et les trois points d'intersection sont les points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle. Les deux cercles tangents à ces trois cercles sont séparés par le cercle inscrit, l'un étant intérieur et l'autre extérieur. Les centres de Soddy se situent aux intersections communes de trois hyperboles, chacune ayant deux sommets du triangle pour foyers et passant par le troisième sommet^[4].

Le centre du cercle de Soddy intérieur est un point d'égal détour : la ligne polygonale reliant deux sommets quelconques du triangle en passant par le centre du cercle de Soddy est plus longue que le segment de droite reliant directement ces sommets, et ce, indépendamment des sommets choisis^[5]. D'après le théorème de Descartes, la courbure du cercle intérieur du cercle de Soddy est égale à ${\textstyle (4R+r+2p)/S}$, où ${\displaystyle S}$ est l'aire du triangle, ${\displaystyle R}$ est son rayon circonscrit, et ${\displaystyle r}$ son rayon inscrit. Le cercle de Soddy extérieur a pour courbure ${\textstyle (4R+r-2p)/S}$ (voir à point d'égal détour un calcul de cette expression).

Lorsque cette courbure est positive, le centre du cercle extérieur de Soddy est un autre point d'égal détour ; sinon, le point d'égal détour est unique^[5]. Lorsque le cercle de Soddy extérieur a une courbure négative, son centre est le point isopérimétrique du triangle : les trois triangles formés par ce centre et deux sommets du triangle initial ont tous le même périmètre^[5].

Les triangles dont le cercle de Soddy extérieur dégénère en une droite de courbure nulle sont appelés « triangles de Soddy »^[6]. Cela se produit lorsque ${\textstyle 4R+r=2p}$ et provoque la courbure du cercle de Soddy intérieur égale à ${\textstyle 4/r}$ puisque ${\displaystyle S=pr}$. On peut démontrer que les triangles de Soddy à côtés entiers ont une aire entière donc sont des triangles de Héron^[6].

Outre les trois cercles tangents extérieurement formés à partir d'un triangle, trois autres triplets de cercles tangents ont également leurs centres aux sommets du triangle, l'un des cercles entourant les deux autres. Leurs triplets de rayons sont : ${\displaystyle (-p,p-c,p-b),}$${\displaystyle (p-c,-p,p-a),}$ et ${\displaystyle (p-b,p-a,-p),}$ un rayon négatif indiquant que le cercle est tangent aux deux autres à l'intérieur de celui-ci. Leurs points de contact se situent sur les droites passant par les côtés du triangle, chaque triplet de cercles ayant des points de contact où l'un des trois cercles exinscrits est tangent à ces droites. Les paires de cercles tangents à ces trois triplets de cercles se comportent de manière analogue à la paire de cercles intérieur et extérieur, et sont parfois aussi appelés cercles de Soddy. Au lieu de se situer à l'intersection des trois hyperboles, les centres de ces cercles se trouvent à l'intersection de la branche opposée d'une hyperbole dont les foyers sont aux deux sommets et qui passe par le troisième, et des deux ellipses dont les foyers sont à d'autres paires de sommets et qui passent par le troisième^[7].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Soddy circles of a triangle » (voir la liste des auteurs).

• Théorème de Descartes
• Hexlet de Soddy

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