Conjecture d'Erdős-Straus

La conjecture d'Erdős-Straus énonce que tout nombre rationnel de la forme ${\displaystyle {\frac {4}{n}}}$, avec n entier supérieur ou égal à 2, peut être écrit comme somme de trois fractions unitaires, c'est-à-dire qu'il existe trois entiers naturels non nuls ${\displaystyle x,y}$ et ${\displaystyle z}$ tels que :

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.}$

Louis Mordell a montré que pour ${\displaystyle n\not \equiv 1,11^{2},13^{2},17^{2},19^{2},23^{2}~{\mathtt {mod}}~840}$ la conjecture est vraie^[1].

La suite A192787 de l'OEIS donne, en fonction de n, le nombre de solutions vérifiant ${\displaystyle x\leqslant y\leqslant z}$, et la suite A073101 de l'OEIS le nombre de solutions vérifiant ${\displaystyle x<y<z}$.

Une proposition non triviale a été faite récemment sur le sujet^[2]

• Conjectures d'Erdős 
• Fraction égyptienne
• Système couvrant

M. Mizony, M.-L. Gardes, « Un point sur la conjecture d'Erdös et Straus », Université Claude-Bernard, juin 2012

• Arithmétique et théorie des nombres