Conjecture d'Iliev-Sendov

La conjecture d'Iliev-Sendov est une relation entre les racines d'un polynôme à coefficients complexes, et les racines du polynôme dérivé, et doit son nom à Blagovest Sendov (en) et Lyubomir Iliev, deux mathématiciens bulgares[1].

Elle énonce que, si P est un polynôme dont les racines r1, ..., rn sont dans le disque unité fermé (c'est-à-dire de module au plus 1), alors chaque racine rk est à une distance inférieure ou égale à 1 d'une racine de P'.

À noter que d'après le théorème de Gauss-Lucas, les racines de P' sont dans l'enveloppe convexe des rk, et donc a fortiori dans le disque unité et sans le bord.

La conjecture a été publiée pour la première fois en 1967, dans le livre Research problems in function theory de Walter Hayman[1],[2]. Elle a été démontrée pour les polynômes de degré au plus 6 en 1991[3], puis de degré au plus 8 en 1999[4], mais n'est toujours pas complètement démontrée en 2020. Entre 2002 et 2003, Gerald Schmieder a présenté plusieurs démonstrations de cette conjecture, qui ont toutes été ensuite invalidées[5],[6]. En 2020, une importante avancée a été obtenue par Terence Tao, démontrant le résultat pour des polynômes de degré suffisamment grand[7].

Notes et références

  1. (en) Blagovest Sendov, « Hausdorff geometry of polynomials », Advances in Mathematics: Scientific Journal, vol. 1, no 1,‎ , p. 23-26 (lire en ligne [PDF])
  2. ↑ (en) Walter Kurt Hayman, Research problems in function theory, The Athlone Press,
  3. ↑ (en) Johnny E. Brown, « On the Sendov conjecture for sixth degree polynomials », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 113, no 4,‎ (lire en ligne [PDF])
  4. ↑ (en) Johnny E. Brown et Guangping Xiang, « Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree at most eight », J. Math. Anal. Appl., vol. 232, no 2,‎ , p. 272-292 (lire en ligne [PDF])
  5. ↑ (en) Blagovest Sendov, « A Conjecture in the Geometry of Polynomials », Danwakai 2005 (conférence),‎ (lire en ligne [PDF]).
  6. ↑ (en) Gerald Schmieder, « A proof of Sendov's conjecture », ..
  7. ↑ (en) Terence Tao, « Sendov's conjecture for sufficiently high degree polynomials », .

Voir aussi

  • icône décorative Portail de l'analyse
Cet article est issu de Wikipédia. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.