Conjecture de Goormaghtigh

En mathématiques, la conjecture de Goormaghtigh est une conjecture de théorie des nombres ainsi nommée en hommage au mathématicien belge René Goormaghtigh (en)^[1],[2]. Elle énonce que les seules solutions de l'équation diophantienne :

${\displaystyle {\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}$ avec ${\displaystyle x>y>1}$ et ${\displaystyle n,m>2}$

sont ${\displaystyle (x,y,m,n)=(5,2,3,5)}$ et ${\displaystyle (x,y,m,n)=(90,2,3,13)}$.

De façon équivalente, on conjecture que 31 = 11111₂ = 111₅ et 8191 = 1111111111111₂ = 111₉₀ sont les deux seuls entiers à être des répunit dans deux bases différentes, ce qui a été vérifié jusqu'à 100 000 par Goormaghtigh en 1917 et jusqu'à ${\displaystyle 2^{44}}$en 2006 ; voir  A119598.

À la suite de cette conjecture, il apparaît que 31 et 8191 sont les deux seuls nombres premiers à être brésiliens dans deux bases différentes.

• Arithmétique et théorie des nombres