Conjecture de Haken virtuelle

En topologie, une branche des mathématiques, la conjecture de Haken virtuelle est l'énoncé disant que toute variété compacte, orientable et irréductible de dimension 3 à groupe fondamental infini, est virtuellement de Haken. Autrement dit, elle possède un revêtement fini (un espace de revêtement muni d'une application de revêtement d'images inverses finie) qui est une variété de Haken.

Après la démonstration de la conjecture de géométrisation par Grigori Perelman, la conjecture n'était plus ouverte que pour les 3-variétés hyperboliques.

Énoncé

La conjecture est généralement attribuée à Friedhelm Waldhausen et figure dans un article de 1968[1] même s'il ne l'a pas énoncée formellement. La conjecture est énoncée formellement comme le problème 3.2 dans la liste des problèmes de Robion Kirby.

Démonstrations

Une démonstration de la conjecture a été annoncée le 12 mars 2012 par Ian Agol lors d'un séminaire à l'Institut Henri Poincaré. Cette démonstration a paru peu après sous forme d'une prépublication, puis elle a été publiée dans Documenta Mathematica[2]. La preuve repose sur une stratégie issue de travaux antérieurs de Daniel Wise et ses collaborateurs, utilisant les actions du groupe fondamental sur certains espaces auxiliaires (des complexes cubiques CAT(0), également appelés graphes médians)[3]. Elle utilise comme élément essentiel la solution de la conjecture sur les sous-groupes de surface obtenue peu auparavant par Jeremy Kahn et Vladimir Marković[4],[5]. Parmi les autres résultats directement utilisés dans la démonstration d'Agol figurent le théorème du quotient spécial malnormal de Wise et un critère de Nicolas Bergeron et Wise pour la cubulation des groupes[6].

En 2018, des résultats connexes ont été obtenus par Piotr Przytycki et Daniel Wise, prouvant que les 3-variétés mixtes sont également virtuellement spéciales, c'est-à-dire qu'elles peuvent être cubulées dans un complexe cubique avec un revêtement fini où tous les hyperplans sont plongés, ce qui, d'après les travaux mentionnés précédemment, peut être rendu virtuellement Haken[7],[8].

Une autre démonstration, par Charitos Charalampos est annoncée en 2025[9].

Notes et références

  1. ↑ Waldhausen, « On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large », Annals of Mathematics, vol. 87, no 1,‎ , p. 56–88 (DOI 10.2307/1970594, JSTOR 1970594, MR 224099, lire en ligne).
  2. ↑ Ian Agol, « The virtual Haken Conjecture », Documenta Mathematica, vol. 18,‎ , p. 1045–1087 (DOI 10.4171/dm/421, MR 3104553, S2CID 255586740, lire en ligne).
  3. ↑ Frédéric Haglund et Daniel Wise, « A combination theorem for special cube complexes », Annals of Mathematics, vol. 176, no 3,‎ , p. 1427–1482 (DOI 10.4007/annals.2012.176.3.2, MR 2979855).
  4. ↑ Jeremy Kahn et Vladimir Markovic, « Immersing almost geodesic surfaces in a closed hyperbolic three manifold », Annals of Mathematics, vol. 175, no 3,‎ , p. 1127–1190 (DOI 10.4007/annals.2012.175.3.4, MR 2912704, arXiv 0910.5501, S2CID 32593851)
  5. ↑ Jeremy Kahn et Vladimir Markovic, « Counting essential surfaces in a closed hyperbolic three-manifold », Geometry & Topology, vol. 16, no 1,‎ , p. 601–624 (DOI 10.2140/gt.2012.16.601, MR 2916295, arXiv 1012.2828).
  6. ↑ Nicolas Bergeron, « A boundary criterion for cubulation », American Journal of Mathematics, vol. 134, no 3,‎ , p. 843–859 (DOI 10.1353/ajm.2012.0020, MR 2931226, arXiv 0908.3609, S2CID 14128842)
  7. ↑ (en) Piotr Przytycki et Daniel Wise, « Mixed 3-manifolds are virtually special », Journal of the American Mathematical Society, vol. 31, no 2,‎ , p. 319–347 (ISSN 0894-0347, DOI 10.1090/jams/886, arXiv 1205.6742, S2CID 39611341, lire en ligne)
  8. ↑ « Piotr Przytycki and Daniel Wise receive 2022 Moore Prize », American Mathematical Society.
  9. ↑ Charitos Charalampos, « A new proof of the virtual Haken conjecture », Arxiv,‎ (arXiv 2510.0061, lire en ligne, consulté le ).

Annexes

Bibliographie

Liens externes

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