Couplage (algèbre)

En algèbre, un couplage (ou accouplement) entre deux modules sur un anneau commutatif unitaire R est une application R-bilinéaire définie sur leur produit cartésien.

Soit R un anneau commutatif unitaire et soient M, N et L des R-modules.

Un couplage entre M et N est une application R-bilinéaire ${\displaystyle e:M\times N\to L}$. Cela signifie que l'on a

${\displaystyle e(r\cdot m,n)=e(m,r\cdot n)=r\cdot e(m,n)}$,

${\displaystyle e(m_{1}+m_{2},n)=e(m_{1},n)+e(m_{2},n)}$ et ${\displaystyle e(m,n_{1}+n_{2})=e(m,n_{1})+e(m,n_{2})}$

pour tout ${\displaystyle r\in R}$, tous ${\displaystyle m,m_{1},m_{2}\in M}$ et tous ${\displaystyle n,n_{1},n_{2}\in N}$. Il est équivalent de définir un couplage comme une application R-linéaire

${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$

où ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ désigne le produit tensoriel de M et N.

Un couplage peut également être considéré comme un morphisme de R-modules ${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$ ou encore, de façon symétrique, comme un morphisme ${\displaystyle \Phi ':N\to \operatorname {Hom} _{R}(M,L)}$. On définit ces morphismes à partir de l'application e de la première définition en posant ${\displaystyle \Phi (m)(n)=e(m,n)=\Phi '(n)(m)}$ pour ${\displaystyle m\in M}$ et ${\displaystyle n\in N}$.

Un couplage est dit parfait si les applications ${\displaystyle \Phi }$ et ${\displaystyle \Phi '}$définies ci-dessus sont des isomorphismes de R-modules. Dans certaines situations, il suffit qu'un seul de ces morphismes soit un isomorphisme pour que l'autre en soit un également, par exemple lorsque R est un corps, que M et N sont des espaces vectoriels de dimension finie et que L = R.

Un couplage ${\displaystyle e}$ est dit non dégénéré à droite si, étant donné ${\displaystyle n\in N}$, l'égalité ${\displaystyle e(m,n)=0}$ pour tout ${\displaystyle m}$ implique que ${\displaystyle n=0}$ ; de même, ${\displaystyle e}$ est dit non dégénéré à gauche si ${\displaystyle e(m,n)=0}$ pour tout ${\displaystyle n}$ implique que ${\displaystyle m=0}$.

Un couplage est dit alterné si ${\displaystyle M=N}$ et si ${\displaystyle e(m,m)=0}$ pour tout m. En particulier, puisque ${\displaystyle e(m+n,m+n)=0}$, on en déduit par bilinéarité que ${\displaystyle e(m+n,m+n)=e(m,m)+e(m,n)+e(n,m)+e(n,n)=e(m,n)+e(n,m)}$. Ainsi, pour un couplage alterné, ${\displaystyle e(m,n)=-e(n,m)}$.

Tout produit scalaire défini sur un espace vectoriel réel V est un exemple de couplage (avec M = N = V, R = R dans les définitions ci-dessus). Plus généralement, toute forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel V sur un corps K est un couplage (avec M = N = V et R = K).

L'application déterminant de l'espace des matrices 2×2 sur K vers K peut être vue comme un couplage alterné ${\displaystyle K^{2}\times K^{2}\to K}$.

En cryptographie, on utilise souvent une définition légèrement différente^[1].

Soient ${\displaystyle \textstyle G_{1},G_{2}}$ des groupes additifs et soit ${\displaystyle \textstyle G_{T}}$ un groupe multiplicatif, tous trois d'ordre premier ${\displaystyle \textstyle p}$. Soient ${\displaystyle \textstyle P\in G_{1}}$ et ${\displaystyle Q\in G_{2}}$ des générateurs de ${\displaystyle \textstyle G_{1}}$ et ${\displaystyle \textstyle G_{2}}$ respectivement.

Un couplage est une application : ${\displaystyle e:G_{1}\times G_{2}\rightarrow G_{T}}$ satisfaisant aux propriétés suivantes :

1. bilinéarité : ${\displaystyle \textstyle \forall a,b\in \mathbb {Z} ,\ e\left(aP,bQ\right)=e\left(P,Q\right)^{ab}}$ ;
2. non-dégénérescence : ${\displaystyle \textstyle e\left(P,Q\right)\neq 1}$ ;
3. pour des raisons pratiques, ${\displaystyle \textstyle e}$ doit être calculable de manière efficace.

Il arrive couramment, dans la littérature cryptographique, que tous les groupes soient écrits en notation multiplicative.

Lorsque ${\displaystyle \textstyle G_{1}=G_{2}=G}$, le couplage est dit symétrique car ${\displaystyle e(g_{1},g_{2})=e(g_{2},g_{1})}$ pour tous ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$. En effet, comme on a supposé que ${\displaystyle G}$ est cyclique – disons engendré par un générateur ${\displaystyle g\in G}$ – il existe des entiers ${\displaystyle k_{1}}$, ${\displaystyle k_{2}}$ tels que ${\displaystyle g_{1}=g^{k_{1}}}$ et ${\displaystyle g_{2}=g^{k_{2}}}$, de sorte que${\displaystyle e(g_{1},g_{2})=e(g^{k_{1}},g^{k_{2}})=e(g,g)^{k_{1}k_{2}}=e(g^{k_{2}},g^{k_{2}})=e(g_{2},g_{1})}$.

La notion d'accouplement de Weil (l'expression « couplage de Weil » est également courante) est un concept important pour la cryptographie sur les courbes elliptiques. Il peut par exemple être utilisé pour attaquer certaines courbes elliptiques telle que l'attaque MOV^[2]. Ce couplage et certaines variantes ont été utilisés pour développer des schémas fondés sur l'identité.

Les produits scalaires hermitiens sur les espaces vectoriels complexes sont parfois appelés couplages, bien qu'ils soient sesquilinéaires et pas bilinéaires. Par exemple, en théorie des représentations, on dispose d'un tel produit scalaire pour les caractères des représentations complexes d'un groupe fini, il est parfois appelé couplage des caractères.

• Paire duale
• Produit de Yoneda (en)

• « The Pairing-based crypto library », sur crypto.stanford.edu

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