Déterminant par blocs

En algèbre linéaire, la formule de déterminant par blocs généralise à la fois les formules de Laplace de calcul du déterminant d'une matrice carrée par développement selon une ligne ou une colonne ou le calcul du déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.

Si ${\displaystyle A}$ est une matrice carrée de taille ${\displaystyle n}$, on forme un procédé d'extraction de ${\displaystyle k\leq n}$ colonnes, noté ${\displaystyle \varphi }$, c'est-à-dire une application strictement croissante de ${\displaystyle [\![1,k]\!]}$ dans ${\displaystyle [\![1,n]\!]}$, et un procédé d'extraction de ${\displaystyle k\leq n}$ lignes, noté ${\displaystyle \varphi '}$.

On note ${\displaystyle D_{\varphi ,\varphi '}}$ le déterminant de la matrice extraite de ${\displaystyle A}$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices ${\displaystyle \varphi ([\![1,k]\!])}$ et les lignes d'indices ${\displaystyle \varphi '([\![1,k]\!])}$.

On note ${\displaystyle D'_{\varphi ,\varphi '}}$ le déterminant de la matrice extraite de ${\displaystyle A}$ en conservant (dans l'ordre) les colonnes d'indices qui ne sont pas dans ${\displaystyle \varphi ([\![1,k]\!])}$ et les lignes d'indices qui ne sont pas dans ${\displaystyle \varphi '([\![1,k]\!])}$.

On note ${\displaystyle \Phi }$ l'ensemble des applications strictement croissantes de ${\displaystyle [\![1,k]\!]}$ dans ${\displaystyle [\![1,n]\!]}$ et l'on fixe ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$.

On note ${\displaystyle \varepsilon (\varphi )}$ la signature de ${\displaystyle \varphi }$, définie comme la signature de l'unique permutation de ${\displaystyle [\![1,n]\!]}$ prolongeant de ${\displaystyle \varphi }$ et dont la restriction à ${\displaystyle [\![k+1,n]\!]}$ est également croissante.

On obtient alors ${\displaystyle \det A=\varepsilon (\varphi )\sum _{\varphi '\in \Phi }\varepsilon (\varphi ')D_{\varphi ,\varphi '}D'_{\varphi ,\varphi '}}$.

Si ${\displaystyle n=4}$ et ${\displaystyle k=2}$, cette formule donne un déterminant 4×4 comme la somme de 6 produits de déterminants 2×2. En notant, comme pour les coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes,

• ${\displaystyle p_{i,j}}$ le déterminant des lignes ${\displaystyle i,j}$ des deux premières colonnes et
• ${\displaystyle q_{i,j}}$ le déterminant des lignes ${\displaystyle i,j}$ des deux dernières colonnes,

on obtient par exemple :

${\displaystyle \det A=p_{1,2}q_{3,4}+q_{1,2}p_{3,4}+p_{1,3}q_{4,2}+q_{1,3}p_{4,2}+p_{1,4}q_{2,3}+q_{1,4}p_{2,3}}$

En développant les coefficients mais en regroupant cette fois-ci par lignes (ce qui ne change rien par propriétés de transposition du déterminant):

${\displaystyle {\begin{aligned}\det A=&+{\bigl (}(a_{1,1}a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2})\times (a_{3,3}a_{4,4}-a_{4,3}a_{3,4}){\bigr )}\\&+{\bigl (}(a_{3,1}a_{4,2}-a_{3,2}a_{4,1})\times (a_{1,3}a_{2,4}-a_{2,3}a_{1,4}){\bigr )}\\&-{\bigl (}(a_{1,1}a_{2,3}-a_{2,1}a_{1,3})\times (a_{3,2}a_{4,4}-a_{4,2}a_{3,4}){\bigr )}\\&-{\bigl (}(a_{3,1}a_{4,3}-a_{4,1}a_{3,3})\times (a_{1,2}a_{2,4}-a_{2,2}a_{1,4}){\bigr )}\\&+{\bigl (}(a_{1,1}a_{2,4}-a_{2,1}a_{1,4})\times (a_{3,2}a_{4,3}-a_{4,2}a_{3,3}){\bigr )}\\&+{\bigl (}(a_{3,1}a_{4,4}-a_{4,1}a_{3,4})\times (a_{1,2}a_{2,3}-a_{2,2}a_{1,3}){\bigr )}\end{aligned}}}$

Cette formule se retrouve en utilisant les formules de Laplace puis en factorisant par les coefficients identiques, d'où l'apparition de signes.

• Richard Baltzer (trad. de l'allemand par Jules Hoüel), Théorie et applications des déterminants : avec l'indication des sources originales, Mallet-Bachelier, 1861 (lire en ligne), « Décomposition d'un déterminant en une somme de produits de déterminants partiels », p. 26-29
• (la) C. G. J. Jacobi, « De formatione et proprietatibus Determinantium », J. reine angew. Math., vol. 22,‎ 1841, p. 285-318 (§ 8, p. 298-299),
  traduit dans (de) C. G. J. Jacobi (éd. P. Stäckel), Ueber die Bildung und die Eigenschaften der Determinanten, Leipzig, Engelmann, 1896 (lire en ligne) (§ 8, p. 20-22)
• Frédéric Rotella et Pierre Borne, Théorie et pratique du calcul matriciel, Technip, 1995 (lire en ligne), « Développement de Laplace », p. 53-54

Gérard Eguether, « Calcul d'un déterminant par blocs », sur Institut Élie-Cartan de Lorraine

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