Développement en série de Pierce

En mathématiques, le développement en série de Pierce d'un nombre réel strictement compris entre 0 et 1 est une écriture de ce nombre utilisant une suite de nombres entiers. Il a été découvert par T. A. Pierce^[1] (le nom a cependant été attribué par Jeffrey Shallit^[2]) et permet de retrouver des propriétés similaires à celles du développement en fraction continue, tout en permettant d'approcher le réel limite de façon plus efficace.

En 1938, Lehmer remarque que la plupart des développements de nombres se basent sur l'itération suivante, pour une fonction f bien choisie :

${\displaystyle x=f\left(x_{0},f(x_{1},f(x_{2},\ldots ))\right)}$

Par exemple,

• ${\displaystyle f(x,y)=x+{\frac {y}{b}}}$ donne le développement en base b ;
• ${\displaystyle f(x,y)=x+{\frac {1}{y}}}$ donne le développement en fraction continue ;
• ${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{x}}(1+y)}$ donne le développement en série de Engel.

En 1929, Pierce utilise la fonction définie par

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{x}}(1-y).}$

Tout nombre réel ${\displaystyle x}$ strictement compris entre 0 et 1 s'écrit de manière unique sous la forme ${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}-\dotsb }$ où les ${\displaystyle a_{k}}$ forment une suite strictement croissante finie ou infinie d'entiers strictement positifs ; la suite est finie (cas où ${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+\dots +{\frac {(-1)^{N-1}}{a_{1}a_{2}\dots a_{N}}}}$) si et seulement si le nombre est rationnel (et pour l'unicité il faut ajouter la condition ${\displaystyle a_{N-1}\leqslant a_{N}-2}$) ^[3].

Pour x = p/q rationnel strictement compris entre 0 et 1, la suite du développement s'obtient à partir d'un algorithme utilisant des divisions euclidiennes successives, comme pour l'algorithme d'Euclide pour p et q.

Initialisation

On pose x₀ = x et p₀ = p.

Récurrence

À l'étape k :

• a_k+1 est le quotient de la division euclidienne de q par p_k
• ${\displaystyle p_{k+1}<p_{k}}$ est le reste de cette division
• x_k+1 = p_k+1/q

L'algorithme s'arrête quand le reste est nul, ce qui arrive forcément, la suite ${\displaystyle (p_{k})}$ étant strictement décroissante.

La division euclidienne s'écrit ${\displaystyle q=p_{k}a_{k+1}+p_{k+1}}$ donnant ${\displaystyle x_{k}={\frac {p_{k}}{q}}={\frac {1}{a_{k+1}}}\left(1-x_{k+1}\right)}$.

On obtient ${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}{\biggl (}1-{\frac {1}{a_{2}}}{\biggl (}1-\dots -{\frac {1}{a_{N-1}}}{\biggl (}1-{\frac {1}{a_{N}}}{\biggl )}{\biggl )}{\biggl )}={\frac {\displaystyle 1-{\frac {\displaystyle 1-\cdots {\frac {\displaystyle 1-{\frac {1}{a_{N}}}}{\displaystyle \cdots }}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}}$, qui se développe en ${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+\dots +{\frac {(-1)^{N-1}}{a_{1}a_{2}\dots a_{N}}}}$.

On l'applique pour x = 11/37.

Étape k	Diviseur ${\displaystyle p_{k}}$	Division euclidienne ${\displaystyle q=p_{k}a_{k+1}+p_{k+1}}$	Quotient ${\displaystyle a_{k+1}}$	Reste ${\displaystyle p_{k+1}}$
0	11	37 = 11 × 3 + 4	3	4
1	4	37 = 4 × 9 + 1	9	1
2	1	37 = 1 × 37 + 0	37	0
${\displaystyle N=3}$ : Fin de l'algorithme

Soit

${\displaystyle {\frac {11}{37}}={\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{9}}\left(1-{\frac {1}{37}}\right)\right)={\frac {1}{3}}-{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{999}}.}$

Remarque : les ${\displaystyle p_{k}}$ pour ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant N}$ étant strictement décroissants et commençant par une division par ${\displaystyle p}$, le nombre de termes du développement est ${\displaystyle \leqslant p}$.

Par exemple, pour ${\displaystyle p=1,N=1}$ : ${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{q}}}$, et pour ${\displaystyle p=2,N=2}$ : :${\displaystyle {\frac {2}{q}}={\frac {1}{\frac {q-1}{2}}}\left(1-{\frac {1}{q}}\right)}$.

Note : on a également ${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{q-1}}\left(1-{\frac {1}{q}}\right)}$ mais ce développement viole la condition ${\displaystyle a_{N-1}\leqslant a_{N}-2}$^[3].

Pour x irrationnel strictement compris entre 0 et 1, la suite du développement s'obtient par récurrence.

Initialisation

On pose x₀ = x.

Récurrence

À l'étape k :

${\displaystyle a_{k}=\max \left\{n\in \mathbb {N} \,;1-nx_{k}>0\right\}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{k}}}\right\rfloor }$

${\displaystyle x_{k+1}=1-a_{k}x_{k}}$.

Comme ${\displaystyle x_{k}}$ est un irrationnel compris entre 0 et 1, ${\displaystyle x_{k}}$ n'est jamais nul et le processus est infini.

On l'applique pour x = 1/π.

Étape k	Nombre ${\displaystyle x_{k}}$	Partie entière ${\displaystyle a_{k}}$	Itéré ${\displaystyle x_{k+1}}$
0	1/π ≈ 0,318309...	3	0,04507304...
1	0,04507304...	22	0,0845249...
2	0,0845249...	118	0,00174856...
3	0,00174856...	383	0,00157478...

Soit :

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{22}}\left(1-{\frac {1}{118}}\left(1-{\frac {1}{383}}\left(\cdots \right)\right)\right)\right)}$ : la suite${\displaystyle (a_{k})}$ est répertoriée comme suite A006283 de l'OEIS.

D'autres suites pour des constantes classiques sont données sur le site de l'OEIS :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-1}=1-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{4}}\left(\cdots \right)\right)\right)}$ ; suite A020725 de l'OEIS ;

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=1-{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{8}}\left(1-{\frac {1}{33}}\left(\cdots \right)\right)\right)}$ : suite A091831 de l'OEIS ;

${\displaystyle 2-\varphi ={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {1}{17}}\left(\cdots \right)\right)\right)}$ : suite A006276 de l'OEIS.

Cette formule donne le développement de Pierce des nombres quadratiques de la forme : ${\displaystyle x={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}}$ où ${\displaystyle a}$ est un entier ${\displaystyle \geqslant 2}$ ^[2].

La suite ${\displaystyle (a_{n})}$ étant définie par ${\displaystyle a_{1}=a={\frac {1+x^{2}}{x}}}$ et ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}^{3}-3a_{n}}$, la suite des coefficients du développement est donnée par : ${\displaystyle a_{1}-1,a_{1}+1,a_{2}-1,a_{2}+1,\cdots }$.

Par exemple, pour ${\displaystyle a=3}$ on obtient le développement de ${\displaystyle 2-\varphi ={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}}$ vu ci-dessus qui a donc pour coefficients : ${\displaystyle 3-1,3+1,18-1,18+1,5778-1,5778+1,\cdots }$ ; on verra dans  A001999 de nombreuses propriétés de la suite ${\displaystyle (a_{n})}$.

• (en) Zachary Chase et Mayank Pandey, « On the length of Pierce expansions », 15 novembre 2022.
• (en) Juan Luis Varona, « The continued fraction expansion of certain Pierce series », Journal of Number Theory, vol. 180,‎ novembre 2017, p. 573-578 (DOI 10.1016/j.jnt.2017.05.005)

• Approximation diophantienne
• Fraction continue
• Développement en série de Engel
• Développement en cotangente continue de Lehmer

• (en) Eric W. Weisstein, « Pierce Expansion », sur MathWorld

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