Diagramme (logique mathématique)

En théorie des modèles, une branche de la logique mathématique, le diagramme d'une structure est un concept simple mais utile pour prouver des propriétés d'une théorie, comme la propriété d'amalgamation et le théorème des plongements joints de Robinson.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ un langage du premier ordre, et ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ une ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-structure. Le diagramme de ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ est l'ensemble des formules atomiques ét négations de formules atomiques à paramètres dans ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ qui sont vraies dans ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. Plus précisément on étend ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ en un nouveau langage

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}:={\mathcal {L}}\cup \{c_{a}:a\in A\}}$

en ajoutant un nouveau symbole de constante ${\displaystyle c_{a}}$ pour chaque élément ${\displaystyle a}$ dans ${\displaystyle A,}$ où ${\displaystyle A}$ est l'ensemble sous-jacent à ${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$ On peut alors étendre ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ en la ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$-structure obtenue en interprétant chaque constante

${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}:=({\mathfrak {A}},a)_{a\in A}.}$

Le diagramme ${\displaystyle D({\mathfrak {A}})}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ est l'ensemble de toutes les ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$-formules atomiques closes et négations de ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}}$-formules atomiques closes qui sont vraies dans ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{A}}$, c'est-à-dire les ${\displaystyle \varphi (c_{a_{1}},...,c_{a_{n}})}$ avec ${\displaystyle \varphi }$ une ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-formule atomique ou négation de formule atomique, telles que ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\vDash \varphi (a_{1},...,a_{n})}$

Wilfrid Hodges, Model theory, Cambridge University Press, 1993 (ISBN 9780521304429, lire en ligne )

C. C. Chang et H. Jerome Keisler, Model Theory, Dover Publications, 2012, Third éd., 672 pages

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