Dynamique des gaz raréfiés

La dynamique des gaz raréfiés est la branche de la mécanique des fluides qui s'intéresse aux écoulements gazeux dans lesquels l'hypothèse de continuité est invalide : le libre parcours moyen y est du même ordre de grandeur ou plus grand que toute dimension caractéristique macroscopique. Celle-ci est définie par ${\displaystyle \textstyle l={\frac {f}{||\nabla f||}}}$ où ${\displaystyle \textstyle f}$ est n'importe quelle quantité caractéristique du milieu (température, masse volumique, pression...). Dans le cas où un objet physique est présent (problème d'aérodynamique interne ou externe) cette longueur caractéristique sera du même ordre de grandeur que la taille caractéristique de l'objet. Cette notion de taille relative microscopique / macroscopique est donnée par le nombre de Knudsen.

Le domaine d'étude peut être entièrement raréfié ou comporter seulement des régions raréfiées.

Cette dynamique est décrite par la théorie cinétique des gaz et l'équation de Boltzmann. Le déséquilibre thermodynamique s'y manifeste sous la forme d'une distribution non maxwellienne des vitesses. On y observe des distributions hors équilibre thermodynamique de tous les autres degrés de liberté (lorsqu'ils existent) des particles du milieu (rotation, vibration, énergies internes), phénomènes non spécifiques de la raréfaction mais grandement aidés par elle.

La découverte des effets de la raréfaction a été faite par Martin Knudsen qui a montré les écarts avec la loi de Poiseuille pour la perméation de gaz à très faible pression dans un tube (1909)^[1]. Cette observation a été prolongée par Lambert Johannes Klinkenberg dans des expériences où l'écoulement n'est que partiellement raréfié (1941)^[2]. La notion de saut pariétal des diverses variables est introduite par James Clerk Maxwell dès 1879^[3].

L'équation de Boltzmann est connue depuis 1872^[4] et la méthode de Chapman-Enskog de résolution de cette équation pour les faibles nombres de Knudsen depuis 1916-1917. La résolution dans le cas général attend la mise au point en 1948 de la méthode de Monte Carlo par Herman Kahn et Ted Harris dans le cadre de la neutronique^[5] et son adaptation au problème des gaz en 1963 par Graeme Bird^[6],[7]. Mais cette méthode est coûteuse et la méthode de Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) a été introduite en 1954 par Prabhu Lal Bhatnagar, Eugene Gross et Max Krook^[8] - et simultanément par P. Welander^[9] - pour la simplifier notablement en remplaçant les interactions physiques par une simple loi linéaire de retour vers l'équilibre thermodynamique.

À l'inverse de la méthode BGK qui a conduit à de nombreux développements permettant une description plus physique^[10],[11], la méthode du « gaz poussiéreux » pour les milieux poreux dans laquelle on considère le solide comme un ensemble de particules de masse élevée (pour que leur mouvement soit négligeable) n'a pas eu beaucoup de succès^[12].

La dynamique des gaz raréfiés est une science « jeune » puisque le premier congrès consacré au sujet a eu lieu à Nice en 1958^[13]. Les travaux actuels concernent le développement de méthodes capables de traiter indifféremment un écoulement moléculaire ou continu, donc un écoulement mixte^[14]. Le cadre s'est élargi puisque les études méthodologiques, qui relèvent du domaine des mathématiques appliquées, sont souvent multidomaniales, l'équation de Boltzmann étant présente non seulement en mécanique des fluides mais aussi en neutronique, transfert radiatif, conduction thermique, dépôt de rayonnement ionisant...

La description du milieu utilise l'équation de Boltzmann décrivant l'évolution temporelle de la fonction de distribution dans l'espace des phases. Le second membre de l'équation est en général une forme quadratique de ces distributions.

Le passage au domaine continu se fait classiquement par la méthode de Chapman-Enskog utilisant un développement de la fonction de distribution au premier ordre. Le second ordre proposé par David S. Burnett est complexe et peu satisfaisant au plan théorique.

On peut également passer au continue en prenant les moments successifs de la fonction de distribution, le problème étant de « fermer » le système obtenu, incomplet. Les tentatives avec la méthode de Grad (choix a priori de la forme de la solution) ou celle de Levermore^[15] (contrainte sur l'entropie du sytème) n'ont pas eu de grands développement, faute d'un avantage notable des équations obtenues sur celles de Navier-Stokes.

La méthode de Monte Carlo est utilisée couramment pour résoudre le problème général (en fait cette méthode ignore l'équation de Boltzmann). Elle a divers inconvénients : son coût d'autant plus élevé que le nombre de Knudsen diminue, le bruit statistique résiduel de la solution.

La résolution proprement dite de l'équation de Boltzmann utilise une simplification du terme de collision qui remplace la forme quadratique par un simple opérateur linéaire de retour vers l'équilibre thermodynamique : c'est la méthode BGK. Elle a fait l'objet de nombreuses améliorations pour se rapprocher de la physique^[16].

Cette approximation a permis de développer la méthode de Boltzmann sur réseau utilisant un schéma numérique propagation-collision d'une distribution discrétisée, aujourd'hui très largement répandue. Les techniques actuellement développées tendent à les rendre capables de traiter indistinctement régions denses ou raréfiées^[14].

L'écoulement sur un objet dans la gamme de nombre de Knudsen ${\displaystyle \textstyle 0.01<\mathrm {Kn} <0.1}$ est tel que la région proche de la paroi (la couche de Knudsen) ne peut pas être décrite par les équations du continu pour lesquelles, de plus, on ne peut pas écrire de condition aux limites physiques. La description physique de ces conditions aux limites est en général très complexe et l'on se contente généralement d'une description phénoménologique utilisant des fonctions de distribution analytiques.

La région en cause est mince et peut donc être traitée comme une couche limite (la pression est conservée) en utilisant un système de coordonnées curvilignes liées à la paroi^[17]. Il en résulte des relations liant les quantités pariétales à celles en haut de la couche de Knudsen, appelées « conditions de saut » puisque ce sont elles qui serviront de condition aux limites pour le calcul dans l'ensemble du domaine : vitesse, saut de température translationnelle et éventuellement les sauts des autres modes d'énéergie.

Un objet entrant dans l'atmosphère va rencontrer une masse volumique de plus en plus forte et donc des libres parcours moyens de quelques dizaines de mètres (dans la tranche où des effets sont observables) jusqu'à quelques centaines de nanomètres. Tous les régimes seront donc rencontrés : du régime moléculaire (seule l'interaction avec la paroi est intéressante) jusqu'au régime continu décrit par les équations de Navier-Stokes en passant par un domaine où les effets de raréfaction se manifestent au choc et à la paroi (couche de Knudsen).

Les comètes et les étoiles filantes subissent une vaporisation par chauffage radiatif ou cinétique. Dans le second cas les pressions produites sont supérieures à la pression normale. La détente du gaz produit conduit à une pression voisine de celle du milieu extérieur et ce gaz interagit avec l'écoulement externe (écoulement de grand libre parcours moyen relatif par rapport à l'objet). Ces phénomènes entraînent des libres parcours moyens très différents dans le milieu environnant. Les énergies mises en jeu sont à l'origine de forts déséquilibres thermodynamiques.

Ce type de phénomène est voisin de celui de la détente d'un propulseur dans le vide, avec des énergies moindres.

On obtient un écoulement moléculaire dans l'espace avec un satellite de taille métrique mais aussi au sol avec une suie (quelques dizaines de nanomètres de diamètre) ou un agrégat issu de la combustion, par exemple celle d'un moteur.

Ces échelles sont également présentes dans les phénomènes de perméation à basse pression dans les milieux poreux, régis par la loi de Darcy-Klinkenberg. Ceci est également vrai pour un microsystème électromécanique ou un nanosystème électromécanique.

De nombreux travaux ont été effectués dans le domaine des plasmas à pression atmosphérique et de leur interaction avec une paroi. Cela concerne la pulvérisation cathodique, la gravure chimique et le dépôt chimique en phase vapeur. Il existe également de nombreux travaux sur les moteurs ioniques et les propulseurs à effet Hall.

• (en) Martin Knudsen, Kinetic Theory of Gases, Methuen & Company, 1934 (lire en ligne)
• (en) Mikhail N. Kogan, Rarefied Gas Dynamics, Plenum Press, 1969 (lire en ligne)
• (en) G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics And The Direct Simulation Of Gas Flows, Oxford University Press, 1994 (ISBN 978-0198561958)
• (en) G. A. Bird, The DSMC Method, CreateSpace Independent Publishing Platform, 2013 (ISBN 9781492112907, lire en ligne)
• (en) Carlo Cercignani, Rarefied Gas Dynamics: From Basic Concepts to Actual Calculations, Cambridge University Press, 2000 (ISBN 978-0-521-65992-5)
• (en) Yoshio Sone, Kinetic Theory and Fluid Dynamics, Springer Science+Business Media, 2002 (ISBN 978-1-4612-6594-8, lire en ligne)
• (en) Felix Sharipov, Rarefied gas dynamics: fundamentals for research and practice, Wiley, 2016 (ISBN 978-3-527-41326-3, lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rarefied gas dynamics » (voir la liste des auteurs).

• Portail de la physique
• Portail de l’aéronautique