Empilement de cercles dans un carré

En mathématiques récréatives, le problème de l'empilement de cercles dans un carré consiste à déterminer le plus petit carré permettant d'empiler des cercles de même rayon de façon compacte au nombre de n. De manière équivalente, l'objectif est de disposer n points dans un carré de sorte que la plus petite distance entre eux soit la plus grande possible^[1],[2].

Pour passer d'une formulations du problème à l'autre, notant ${\displaystyle d_{n}}$ le maximum de la plus petite distance entre deux points dans un carré de côté 1, le côté du carré minimal empilant des cercles de rayon égal à 1 est ${\displaystyle L_{n}=2+{\frac {2}{d_{n}}}}$, ce qui donne ${\displaystyle d_{n}={\frac {2}{L_{n}-2}}}$.

Des solutions (démontrées optimales jusqu'à ${\displaystyle n=30}$) ont été calculées pour tout ${\displaystyle n\leqslant }$10 000^[3]. Les solutions pour n allant de 1 à 20 sont indiquées ci-dessous^[3].

Lorsque n est un carré parfait, l'empilement où les centres des cercles forment un réseau carré est optimal pour n = 1, 4, 9, 16, 25 et 36 (les six premiers carrés non nuls), mais il cesse d'être optimal pour les carrés suivants, à partir de n = 49^[3].

Les densités sont à comparer à la densité maximale d'un empilement de cercles de mêmes rayons, obtenue pour l’empilement hexagonal, égale à ${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0{,}907}$.

Nombre de cercles (${\displaystyle n}$)	Longueur du côté du carré (${\displaystyle L_{n}}$)	${\displaystyle d_{n}}$[1]	Densité (${\displaystyle n\pi /L_{n}^{2}}$)	Figure
1	2	∞	≈ 0,785
2	${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$ ≈ 3,414...	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1,414	≈ 0,539
3	${\displaystyle 2+{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {6}}{2}}}$ ≈ 3,931...	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$ ≈ 1,035	≈ 0,610
4	4	1	≈ 0,785
5	${\displaystyle 2+2{\sqrt {2}}}$ ≈ 4,828...	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$ ≈ 0,707	≈ 0,674
6	${\displaystyle 2+{\frac {12}{\sqrt {13}}}}$ ≈ 5,328...	${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {13}}}$ ≈ 0,601  A381485	≈ 0,664
7	${\displaystyle 4+{\sqrt {3}}}$ ≈ 5,732...	${\displaystyle 4-2{\sqrt {3}}}$ ≈ 0,536  A379338	≈ 0,669
8	${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}$ ≈ 5,863...	${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}$ ≈ 0,518  A101263	≈ 0,731
9	6	1/2 = 0,5	≈ 0,785
10	6,747...	≈ 0,421  A281065	≈ 0,690
11	7,022...	≈ 0,398	≈ 0,701
12	${\displaystyle 2+15{\sqrt {\frac {2}{17}}}\approx 7,145}$	${\displaystyle {\sqrt {34}}/15\approx 0,389}$	≈ 0,738
13	${\displaystyle (1+{\sqrt {3}})^{2}\approx 7,464}$	${\displaystyle ({\sqrt {3}}-1)/2\approx 0,366}$	≈ 0,733
14	${\displaystyle 6+{\sqrt {3}}}$ ≈ 7,732...	${\displaystyle (8-2{\sqrt {3}})/13\approx 0,349}$	≈ 0,736
15	${\displaystyle 4+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}$ ≈ 7,863...	${\displaystyle (2+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {12}})/4\approx }$ 0,341	≈ 0,762
16	8	1/3 ≈ 0,333	≈ 0,785
17	8,532...	≈ 0,306	≈ 0,734
18	${\displaystyle 2+{\frac {24}{\sqrt {13}}}}$ ≈ 8,656...	${\displaystyle {\sqrt {13}}/12\approx }$0,300	≈ 0,755
19	8,907...	≈ 0,290	≈ 0,752
20	${\displaystyle {\frac {130}{17}}+{\frac {16}{17}}{\sqrt {2}}}$ ≈ 8,978...	${\displaystyle (6-{\sqrt {2}})/16\approx }$ 0,287	≈ 0,779

• Empilement de cercles dans un cercle
• Empilement de cercles dans un triangle équilatéral
• Empilement de cercles dans un triangle rectangle isocèle
• Problème de Tammes (empilement de cercles sur une sphère)

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