Espace de De Branges

En mathématiques, un espace de de Branges (parfois écrit espace de De Branges ) est un concept d'analyse fonctionnelle, construit à partir d'une fonction de De Branges.

Le concept est nommé d'après Louis de Branges qui a prouvé de nombreux résultats concernant ces espaces, notamment en tant qu'espaces de Hilbert, et a utilisé ces résultats pour prouver la conjecture de Bieberbach.

Une fonction d'Hermite-Biehler, aussie connue comme fonction de De Branges, est une fonction entière E de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ à ${\displaystyle \mathbb {C} }$ satisfantes l'inégalité ${\displaystyle |E(z)|>|E({\bar {z}})|}$, pour tout z dans la moitié supérieure du plan complexe ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$.

Soit ${\displaystyle E}$ une fonction d'Hermite-Biehler, l'espace de De Branges B(E) est défini comme l'ensemble de toutes les fonctions entières F telles que ^[1]

${\displaystyle B(E)={\bigg \{}F{\text{ est entière }}{\bigg |}{\frac {F}{E}},{\frac {F^{\#}}{E}}\in H_{2}(\mathbb {C} ^{+}),\int _{\mathbb {R} }{\bigg |}{\frac {F(\lambda )}{E(\lambda )}}{\bigg |}\mathrm {d} \lambda <\infty {\bigg \}}}$

où:

• ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}}$ moitié supérieure du plan complexe ouverte.
• ${\displaystyle F^{\#}(z)={\overline {F({\bar {z}})}}}$.
• ${\displaystyle H_{2}(\mathbb {C} ^{+})}$ est l'Espace de Hardy sur ${\displaystyle \mathbb {C} ^{+}}$.

Un espace de De Branges peut aussi être défini comme l'ensemble des fonctions entières F satisfantes toutes les conditions suivantes :

• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|(F/E)(\lambda )|^{2}d\lambda <\infty }$
• ${\displaystyle |(F/E)(z)|,|(F^{\#}/E)(z)|\leq C_{F}(\operatorname {Im} (z))^{(-1/2)},\forall z\in \mathbb {C} ^{+}}$

Il existe une description axiomatique, utile en théorie des opérateurs.

Soit ${\displaystyle B(E)}$ un espace de Branges. Définir le produit scalaire : $${\displaystyle [F,G]={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\overline {F(\lambda )}}G(\lambda ){\frac {d\lambda }{|E(\lambda )|^{2}}}.}$$

Un espace de de Branges avec ce produit scalaire peut être prouvé étant un espace de Hilbert.

• Christian Remling, « Inverse spectral theory for one-dimensional Schrödinger operators: the A function », Math. Z., vol. 245, n^o 3,‎ 2003, p. 597–617 (DOI 10.1007/s00209-003-0559-2)

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