Filtre de Wiener

Le filtre de Wiener est un filtre utilisé pour estimer un signal à partir d'une observation bruitée de ce signal. Il minimise l'erreur quadratique moyenne entre le signal estimé par filtrage linéaire et le signal original non bruité. La méthode suppose que les caractéristiques du signal et du bruit sont stationnaires et connues (puissance spectrale ou autocorrélation, fonction d'étalement). Il s'agit ainsi souvent d'un filtre théorique, ou utilisé en pratique sous forme d'approximation en estimant les caractéristiques spectrales du signal et du bruit.

Le signal observé est:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\epsilon (t)\,,}$

où ${\displaystyle x(t)}$ est le signal d'origine et ${\displaystyle \epsilon (t)}$ est le bruit additif.

L'estimation du signal d'origine est obtenue par convolution avec le noyau de Wiener: ${\displaystyle {\hat {x}}(t)=(w\star y)(t)}$, ou dans le domaine fréquentiel:

${\displaystyle {\hat {X}}(f)=W(f)\,Y(f)}$.

Le filtre de Wiener dépend des caractéristiques du signal et du bruit:

${\displaystyle W(f)={\frac {S_{x}(f)}{S_{x}(f)+S_{\epsilon }(f)}}\,,}$

où ${\displaystyle S_{x}(f)}$ et ${\displaystyle S_{\epsilon }(f)}$ sont les puissances spectrales du signal d'origine et du bruit, modélisées comme des processus aléatoires indépendants. Pour un bruit blanc, ${\displaystyle S_{\epsilon }}$ est constant: ${\displaystyle S_{\epsilon }(f)=\sigma ^{2}}$.

Si le signal subit un étalement linéaire par un noyau ${\displaystyle h(t)}$, l'observation devient: ${\displaystyle y(t)=(h\star x)(t)+\epsilon (t)}$.

Le filtre de Wiener optimal prend alors en compte le noyau ${\displaystyle H(f)}$ :

${\displaystyle W(f)={\frac {H^{*}(f)\,S_{x}(f)}{|H(f)|^{2}S_{x}(f)+S_{\epsilon }(f)}}\ .}$

L'exposant ${\displaystyle {}^{*}}$ désigne la conjugaison complexe.

Norbert Wiener a d'abord proposé le filtre dans les années 1940, puis publié en 1949^[1]. Vers la même époque Andreï Kolmogorov travaillait sur des filtres similaires.

Le filtre de Wiener a une variété d'applications de traitement du signal, traitement d'image, des systèmes de contrôle et de la communication numérique.

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