Forme différentielle complexe

En mathématiques, une forme différentielle complexe est une forme différentielle à coefficients complexes définie sur une variété différentiable, le plus souvent munie d'une structure complexe.

Les formes différentielles complexes jouent un rôle central en géométrie différentielle et en analyse globale. Sur les variétés complexes, elles constituent un outil fondamental et interviennent de manière essentielle en géométrie algébrique complexe, en géométrie kählérienne et dans la théorie de Hodge.

En dehors du cadre strictement complexe, elles apparaissent également dans l'étude des structures presque complexes, des variétés CR et dans certains aspects de la théorie des spineurs.

L’intérêt principal des formes différentielles complexes réside dans les décompositions naturelles qu’elles admettent. Sur une variété complexe, toute k-forme différentielle complexe se décompose de manière canonique et unique en une somme de (p, q)-formes avec p + q = k. Une (p, q)-forme est localement une combinaison linéaire de produits extérieurs de p différentielles de coordonnées holomorphes et de q différentielles de coordonnées antiholomorphes.

Les espaces de formes de type (p, q) constituent ainsi les objets fondamentaux de la géométrie complexe et induisent une structure géométrique plus fine que celle obtenue en ne considérant que les k-formes différentielles. Dans des situations plus restrictives, notamment sur les variétés kählériennes, cette décomposition s’inscrit dans un cadre encore plus riche, tel que celui fourni par la théorie de Hodge.

Soit M une variété complexe de dimension complexe n. Par définition, M admet un atlas de cartes locales (U, (z¹, ..., zⁿ)), où les z^j sont des fonctions à valeurs complexes, tel que les applications de transition entre cartes soient des fonctions holomorphes. La structure des formes différentielles complexes sur M est profondément influencée par cette condition d'holomorphie, qui impose de fortes contraintes et confère à l'espace des formes différentielles complexes une richesse structurelle absente dans le cas lisse.

On décompose d'abord les coordonnées complexes en leurs parties réelle et imaginaire : z^j = x^j + iy^j pour chaque j allant de 1 à n. Soit

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+\mathrm {i} dy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-\mathrm {i} dy^{j},}$

On constate que toute forme différentielle à coefficients complexes peut s'écrire de manière unique comme une somme.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

Soit Ω^1,0 l'espace des formes différentielles complexes localement engendré par les ${\displaystyle dz^{j}}$ et Ω^0,1 celui engendré par les ${\displaystyle d{\bar {z}}^{j}}$.

Les équations de Cauchy-Riemann impliquent que, sous un changement de coordonnées holomorphes, les différentielles ${\displaystyle dz^{j}}$ s'expriment comme des combinaisons linéaires des ${\displaystyle dz^{k}}$uniquement, et de même les ${\displaystyle d{\bar {z}}^{j}}$ comme des combinaisons linéaires des ${\displaystyle d{\bar {z}}^{k}}$. Il en résulte que les espaces Ω^1,0 et Ω^0,1 sont invariants par changement de cartes holomorphes et que leurs éléments se transforment de manière tensorielle.

Par conséquent, les espaces Ω^1,0 et Ω^0,1 définissent naturellement des fibrés vectoriels complexes sur la variété complexe M, respectivement le fibré cotangent holomorphe et son conjugué.

Le produit extérieur de formes différentielles complexes est défini de la même manière que dans le cadre réel. Soient p et q deux nombres entiers naturels tels que p + q ≤ n. On définit l'espace Ω^{p, q} des (p, q)-formes comme le sous-espace engendré par les produits extérieurs de p éléments de Ω^1,0 et de q éléments de Ω^0,1.

Autrement dit, une (p, q)-forme est localement une combinaison linéaire de termes de la forme

${\displaystyle dz^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dz^{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}^{j_{1}}\wedge \ldots d{\bar {z}}^{j_{q}}}$

Tout comme les espaces susmentionnés, les espaces Ω^{p, q} sont invariants sous les changements de coordonnées holomorphes et déterminent donc également des fibrés vectoriels.

Si l'on note E^k l'espace des formes différentielles complexes de degré total k, alors tout élément de E^k admet une décomposition unique comme une combinaison linéaire d'éléments de Ω^{p, q} de degré total k.

On obtient ainsi une décomposition en somme directe :

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

Cette décomposition en somme directe est compatible avec les changements de coordonnées holomorphes et induit une décomposition du fibré des formes différentielles complexes en sous-fibrés vectoriels.

En particulier, pour chaque k et tout couple (p, q) avec p + q = k, il existe une projection canonique de fibrés vectoriels :

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}}$

correspondant à la décomposition précédente.

La dérivée extérieure usuelle définit une application entre espaces de formes différentielles complexes, ${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$.

Compte tenu de la décomposition en types, l’image d’une (p, q)-forme par ${\displaystyle d}$ est a priori une somme de composantes de degré total p+q+1, c’est-à-dire

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

Toutefois, l'opérateur ${\displaystyle d}$ ne respecte pas la décomposition en types (p, q) et ne reflète donc pas directement la structure complexe plus rigide de la variété.

En utilisant la dérivée extérieure ${\displaystyle d}$ et les projections introduites précédemment, on définit les opérateurs de Dolbeault par :

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

Pour en donner une expression locale, soit

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

où I et J sont des multi-indices strictement croissants. Alors

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

et ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{I,J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

Les opérateurs de Dolbeault vérifient les identités fondamentales suivantes :

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0}$

${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0}$

Ces relations traduisent le fait que l'opérateur ${\displaystyle d}$ se décompose en une somme de deux opérateurs ${\displaystyle \partial }$ et ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ qui définissent des complexes différentiels.

Ces opérateurs et leurs propriétés constituent les fondements de la cohomologie de Dolbeault et interviennent de manière centrale dans de nombreux aspects de la théorie de Hodge.

Sur tout voisinage suffisamment petit d'un point d'une variété complexe (par exemple dans une carte holomorphe), le complexe de Dolbeault est exact en degrés q ≥ 1. Plus précisément, si α est une (p, q)-forme avec q≥1 telle que ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$, alors il existe une (p, q – 1)-forme β telle que ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$.

Ce résultat, appelé lemme de Dolbeault, peut être vu comme l'analogue complexe du lemme de Poincaré.

Cette exactitude locale peut être renforcée par le lemme du ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$, qui affirme que toute forme différentielle complexe de type (p, q) localement ${\displaystyle d}$-exacte est localement ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ -exacte. Sur les variétés kählériennes compactes, ce résultat admet une version globale, également appelée lemme du ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$. Il s'agit d'une conséquence profonde de la théorie de Hodge, et il stipule que toute forme différentielle complexe de type (p, q) globalement d-exacte (autrement dit, dont la classe de cohomologie de de Rham est nulle) est en réalité globalement ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ -exacte.

Pour tout nombre entier naturel p, une p-forme holomorphe sur une variété complexe M est une section holomorphe du fibré Ω^p,0 (le fibré des (p, 0)-formes). En coordonnées holomorphes locales (z¹, ..., zⁿ), une telle forme s'écrit

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

où les ${\displaystyle f_{I}}$ sont des fonctions holomorphes.

De manière équivalente, une (p, 0)-forme lisse α est holomorphe si et seulement si

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

Le faisceau des p-formes holomorphes est souvent noté ${\displaystyle \Omega ^{p}}$ (ou ${\displaystyle \Omega _{M}^{p}}$).

Afin d'éviter toute confusion avec le fibré lisse des (p, 0)-formes, certains auteurs utilisent parfois la notation ${\displaystyle \Omega _{\mathrm {hol} }^{p}}$ ou ${\displaystyle \Omega _{\mathcal {O}}^{p}}$.

• Cohomologie de Dolbeault

• P. Griffiths et J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley Interscience, coll. « Wiley Classics Library », 1994, 23–25 p. (ISBN 0-471-05059-8)
• R. O. Wells, Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag, 1973 (ISBN 0-387-90419-0)
• Claire Voisin, Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe, SMF, 2002, 595 p. (ISBN 2-85629-129-5)

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