Formule d'interpolation de Thiele

En mathématiques, la formule d'interpolation de Thiele est une formule qui définit une fonction rationnelle ${\displaystyle f(x)}$ à partir d'un ensemble fini d'entrées ${\displaystyle x_{i}}$ et leurs valeurs de fonction ${\displaystyle f(x_{i})}$ Le problème consistant à générer une fonction dont le graphe passe par un ensemble donné de valeurs de la fonction est appelé interpolation. Cette formule d'interpolation porte le nom du mathématicien danois Thorvald N. Thiele . Elle s'exprime sous forme de fraction continue, où ρ représente la différence inverse :

${\displaystyle f(x)=f(x_{1})+{\cfrac {x-x_{1}}{\rho (x_{1},x_{2})+{\cfrac {x-x_{2}}{\rho _{2}(x_{1},x_{2},x_{3})-f(x_{1})+{\cfrac {x-x_{3}}{\rho _{3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})-\rho (x_{1},x_{2})+\cdots }}}}}}}$

${\displaystyle \rho _{n}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n+1})-\rho _{n-2}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n-1})+{\cfrac {x-x_{n+1}}{\rho _{n+1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n+2})-\rho _{n-1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})+\cdots }},}$

tandis que la ${\displaystyle n}$-ième différence réciproque est définie comme

${\displaystyle \rho _{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})={\frac {x_{1}-x_{n+1}}{\rho _{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})-\rho _{n-1}(x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n+1})}}+\rho _{n-2}(x_{2},\ldots ,x_{n})}$.

Les deux termes ${\displaystyle \rho _{n-2}}$ sont différents et ne peuvent être annulés.

(en) M. A. Hooshyar et M. Razavy, « A discrete method of constructing central and angular-momentum dependent potentials », Canadian Journal of Physics, vol. 59, n^o 11,‎ 1^er novembre 1981, p. 1627–1634 (ISSN 0008-4204 et 1208-6045, DOI 10.1139/p81-214, lire en ligne, consulté le 15 avril 2026)

• (en) Eric W. Weisstein, « Thiele's Interpolation Formula », sur MathWorld

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