Formule de Clausen

En mathématiques, la formule de Clausen, découverte par Thomas Clausen, exprime le carré d'une fonction hypergéométrique gaussienne comme une fonction hypergéométrique généralisée. Elle établit l'égalité :

$${\displaystyle \;_{2}F_{1}\left(a,b\,;\,a+b+1/2\,;\,x\right)^{2}=\;_{3}F_{2}\left(2a,2b,a+b\,;\,a+b+1/2,2a+2b\,;\,x\right)}$$

En particulier, elle donne des conditions pour qu'une fonction hypergéométrique soit positive.

La fonction hypergéométrique ₃F₂ est parfois appelée « fonction hypergéométrique de Clausen »^[1].

On pose^[2]

${\displaystyle f_{1}(x)=\;_{2}F_{1}\left(a,b\,;\,a+b+1/2\,;\,x\right)^{2},\quad f_{2}(x)=\;_{3}F_{2}\left(2a,2b,a+b\,;\,a+b+1/2,2a+2b\,;\,x\right)}$

Une démonstration classique repose sur le fait que f₁ et f₂ sont toutes deux solutions de l'équation différentielle du 3^e ordre :

${\displaystyle x^{2}(x-1)y^{(3)}-3x(a+b+{\frac {1}{2}}-(a+b+1)x)y^{(2)}+((2(a^{2}+b^{2}+4ab)+3(a+b)+1)x-(a+b)(2a+2b+1))y'+4ab(a+b)y=0}$

Dès lors, par le théorème de Cauchy-Lipschitz, il suffit de vérifier l'égalité des conditions initiales pour établir l'égalité entre les deux fonctions. Or, on a en effet

${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1}$

${\displaystyle f_{1}'(0)=f_{2}'(0)={\frac {2ab}{a+b+{\frac {1}{2}}}}}$

${\displaystyle f_{1}''(0)=f_{2}''(0)={\frac {ab(4a^{2}b+4ab^{2}+8ab+2a^{2}+2b^{2}+3a+3b+1)}{(a+b+1/2)^{2}(a+b+3/2)}}}$

Srinivasa Ramanujan a utilisé une variante de la formule de Clausen pour a = b = 1/2 pour établir une de ses 17 égalités pour 1/π^[3],[4],[5].

Elle permet également d'établir directement le développement en série entière du carré de la fonction arc sinus, en prenant a = b = 1 :

${\displaystyle \arcsin(x)^{2}=\left(x\,_{2}F_{1}\left({\begin{matrix}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{matrix}};x\right)\right)^{2}=x^{2}\,_{3}F_{2}\left({\begin{matrix}1,1,1\\{\frac {3}{2}},2\end{matrix}};x^{2}\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}{\frac {x^{2n+2}}{n+1}}.}$

Ce résultat peut être utilisé pour démontrer plusieurs inégalités, comme l'inégalité d'Askey-Gasper utilisée dans la démonstration du théorème de de Branges.

• (en) George E. Andrews, Richard Askey et Ranjan Roy, Special functions, vol. 71, Cambridge University Press, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications », 1999 (ISBN 978-0-521-62321-6, MR 1688958)
• (de) Thomas Clausen, « Ueber die Fälle, wenn die Reihe von der Form y = 1 + ... etc. ein Quadrat von der Form z = 1 ... etc.hat », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 3,‎ 1828 (lire en ligne)

• (en) Eric W. Weisstein, « Clausen Formula », sur MathWorld

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