Formule de Rodrigues

En mathématiques, la formule de Rodrigues (anciennement appelée formule de Ivory-Jacobi) est une formule impliquant les polynômes de Legendre, indépendamment découverte par Olinde Rodrigues^[1], James Ivory^[2] et Charles Gustave Jacob Jacobi^[3]. Le nom « formule de Rodrigues » a été introduit par Eduard Heine en 1878^[4], après que Hermite eut souligné, dès 1865, que Rodrigues a été le premier à la découvrir. Le terme est également utilisé pour décrire des formules similaires pour d'autres suites de polynômes orthogonaux. Richard Askey^[5] décrit l'histoire de la formule de Rodrigues en détail.

Énoncé

Soient $(P_{n}(x))_{n=0}^{\infty }$ une suite de polynômes orthogonaux sur l'intervalle $[a,b]$ pour une fonction poids $w(x)$ , dont on suppose qu'elle est échelonnée $deg(P_{n})=n$ , et donc tels que $\int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=K_{n}\delta _{m,n}$ où les constantes non nulles $K_{n}$ ne dépendent que de $n$ , et $\delta _{m,n}$ désigne le delta de Kronecker. Une des bornes de l'intervalle $[a,b]$ , voire les deux, peut être infini.

Théorème — Si $w(x)=W(x)/B(x),\quad {\frac {W'(x)}{W(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},$ où $A(x)$ est un polynôme de degré au plus 1 et $B(x)$ est un polynôme de degré au plus 2, et $\lim _{x\to a}x^{k}W(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}x^{k}W(x)=0.$ pour tout $k=0,1,2,\dots$ .

Alors si ${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right]\neq 0$ pour tout $n=0,1,2,\dots$ , alors $P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\!\left[B(x)^{n}w(x)\right],$ pour des constantes $c_{n}$ .

Preuve^[6]

Soit ${\textstyle F_{k}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{k}(B^{n}w)}$ , alors ${\textstyle F_{k}=B^{n-k}p_{k}}$ pour tout ${\textstyle k\in 0:n}$ pour des polynômes bien choisis ${\textstyle p_{k}}$ , avec ${\textstyle deg(p_{k})\leq k}$ . On peut alors montrer par induction sur ${\textstyle k}$ : $F_{k+1}=B^{n-k-1}(Bp_{k}'+(n-k)B'p_{k}+(A-B')p_{k})$

Soit ${\textstyle Q_{n}:={\frac {1}{w}}D_{x}^{n}(B^{n}w)}$ . On a vu que ${\textstyle Q_{n}}$ est un polynôme de degré au plus $n$ . Par intégration par partis, on a pour tout ${\textstyle n>m}$ , $\int _{a}^{b}Q_{m}(x)Q_{n}(x)w(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}B^{n}(x)w(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}Q_{m}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x)\mathrm {d} x=0$ puisque ${\textstyle Q_{m}^{(n)}=0}$ . Ainsi, ${\textstyle Q_{0},Q_{1},\dots }$ forme une suite de polynômes pour le poids ${\textstyle w}$ . Ainsi, on a ${\textstyle P_{n}=c_{n}Q_{n}}$ pour des constantes ${\textstyle c_{n}}$ .

Théorème — $B(x)P_{n}''(x)+A(x)P_{n}'(x)+\lambda _{n}P_{n}(x)=0$

$\lambda _{n}=-{\frac {n(n-1)}{2}}B''-nA'$

Preuve^[6]^:2

L'égalité est triviale pour $n = 0$ . Pour $n = 1$ , elle se réduit à $AP_{1}'=A'P_{1}$ , qui est vraie car par construction $P_{1}={\frac {c_{1}}{w}}(Bw)'=c_{1}A$ .

On considère maintenant $n\geq 2$ . On pose $I_{n}(x)={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(B^{n}(x)w(x))$ , alors par calcul direct et simplification, l'équation à prouver devient équivalente à

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(B(x)I_{n}(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A(x)I_{n}(x))+\lambda _{n}I_{n}(x)=0$

On remarque que, pour une fonction $y$ arbitraire, on a :

$B(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}y={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(B(x)y)-n{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} x^{n-1}}}(B'(x)y)+{\frac {n(n-1)}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-2}}{\mathrm {d} x^{n-2}}}(B''y)$

$A(x){\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}y={\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(A(x)y)-n{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} x^{n-1}}}(A'y)$

Cela nos permet de sortir les termes $A(x),B(x)$ hors de la dérivée $n$ -ième. On pose $y=B^{n}(x)w(x)$ , et on définit

$J(x)=\underbrace {{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}(B(x)y(x))} _{J_{1}(x)}+\underbrace {(-n){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(B'(x)y(x))} _{J_{2}(x)}+\underbrace {{\frac {n(n-1)}{2}}B''(x)y(x)} _{J_{3}(x)}$

$K(x)=\underbrace {-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A(x)y(x))} _{K_{1}(x)}+\underbrace {nA'y(x)} _{K_{2}(x)}$

$L(x)=\lambda _{n}y(x)$

Alors l'équation se simplifie en ${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(J+K+L)=0$

On a :

J_{3}(x)+K_{2}(x)+L(x)=\left(\lambda _{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}B''(x)+nA'(x)\right)y(x)=0

.

et on conclut en remarquant que

{\begin{aligned}J_{1}(x)&={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(B^{n}(x)\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)\mathrm {d} x\right)\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\left(nB'(x)B^{n-1}(x)+A(x)B^{n-1}(x)\right)\int \exp \left({\frac {A(x)}{B(x)}}\right)\mathrm {d} x\right]\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(nB'(x)B^{n}(x)w(x)+A(x)B^{n}(x)w(x)\right)\\&=-J_{2}(x)-K_{1}(x)\end{aligned}}

On peut également établir la formule par la théorie de Sturm-Liouville. On définit l'opérateur $Lf:=-{\frac {1}{w}}(Wf')'$ , alors l'équation différentielle devient équivalente à $LP_{n}=\lambda _{n}P_{n}$ . On définit l'espace fonctionnel $X=L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)$ comme l'espace de Hilbert de fonctions sur $[a,b]$ , tel que $\langle f,g\rangle :=\int _{a}^{b}fgw$ . Alors l'opérateur $L$ est auto-adjoint sur des fonctions satisfaisant certaines conditions aux limites, ce qui permet d'appliquer le théorème spectral.

Exemples

La formule de Rodrigues s'écrit :

pour les polynômes de Legendre^[7]^:741:

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{{\rm {d}}^{n} \over {\rm {d}}x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$ ;

pour les polynômes de Laguerre^[7]^:837:

$L_{n}(x)={\frac {{\rm {e}}^{x}}{n!}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left({\rm {e}}^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)^{n}x^{n}$ ;

pour les polynômes d'Hermite^[7]^:817:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}{\rm {e}}^{x^{2}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}{\rm {e}}^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)^{n}\cdot 1$ .

pour les polynômes de Jacobi^[8]:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-x)^{-\alpha }(1+x)^{-\beta }{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left\{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\left(1-x^{2}\right)^{n}\right\}.$

Il existe des formules similaires valables pour beaucoup d'autres suites de fonctions orthogonales issues des équations de Sturm-Liouville ; elles ont aussi pour nom formule de Rodrigues, en particulier lorsque ces fonctions sont polynomiales.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rodrigues' formula » (voir la liste des auteurs).

↑ O. Rodrigues, « Mémoire sur l'attraction des sphéroïdes », Correspondance sur l'École impériale Polytechnique, vol. 3,‎ 1814-1816, p. 361-385 (lire en ligne) (thèse de la Faculté de sciences de Paris).
↑ (en) J. Ivory, « On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis », Phil. Trans. R. Soc., vol. 114,‎ 1824, p. 85-150 (DOI 10.1098/rstl.1824.0008).
↑ (de) C. G. J. Jacobi, « Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 – 2xz + z²)^1/2 entstehen », J. reine angew. Math., vol. 2,‎ 1827, p. 223-226 (DOI 10.1515/crll.1827.2.223).
↑ (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Olinde Rodrigues », sur MacTutor, université de St Andrews.
↑ (en) R. Askey, Mathematics and social utopias in France : Olinde Rodrigues and his times, vol. 28, Providence, R.I., AMS, coll. « History of Mathematics », 2005, 168 p. (ISBN 978-0-8218-3860-0, lire en ligne), « The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments », p. 105-118.
(en) Joel Shapiro, « Rodrigues's Formula and Orthogonal Polynomials » [PDF], 2016, p. 1
(en) George B. Arfken et Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists Sixth Edition, Elsevier Academic Press, 2005 (ISBN 0-12-059876-0)
↑ (en) NIST, « §18.12 Generating Functions »

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[1] O. Rodrigues, « Mémoire sur l'attraction des sphéroïdes », Correspondance sur l'École impériale Polytechnique, vol. 3,‎ 1814-1816, p. 361-385 (lire en ligne) (thèse de la Faculté de sciences de Paris).

[2] (en) J. Ivory, « On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis », Phil. Trans. R. Soc., vol. 114,‎ 1824, p. 85-150 (DOI 10.1098/rstl.1824.0008).

[3] (de) C. G. J. Jacobi, « Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 – 2xz + z²)^1/2 entstehen », J. reine angew. Math., vol. 2,‎ 1827, p. 223-226 (DOI 10.1515/crll.1827.2.223).

[4] (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Olinde Rodrigues », sur MacTutor, université de St Andrews.

[5] (en) R. Askey, Mathematics and social utopias in France : Olinde Rodrigues and his times, vol. 28, Providence, R.I., AMS, coll. « History of Mathematics », 2005, 168 p. (ISBN 978-0-8218-3860-0, lire en ligne), « The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments », p. 105-118.

[Shapiro-6] (en) Joel Shapiro, « Rodrigues's Formula and Orthogonal Polynomials » [PDF], 2016, p. 1

[ArfkenWeber-7] (en) George B. Arfken et Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists Sixth Edition, Elsevier Academic Press, 2005 (ISBN 0-12-059876-0)

[8] (en) NIST, « §18.12 Generating Functions »

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