Formule des probabilités composées

En mathématiques, la formule des probabilités composées^[1] (ou formule des probabilités conditionnelles en cascade^[2]^,^[3]) permet de calculer la probabilité d’une intersection d’évènements (non nécessairement indépendants) à l’aide de probabilités conditionnelles^[4].

Soient $A_{1},\dots ,A_{n}$ des évènements dont l’intersection est de probabilité non nulle^[5].
On a $\mathbf {P} (A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\mathbf {P} (A_{1})\times \mathbf {P} (A_{2}|A_{1})\times \mathbf {P} (A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\times \cdots \times \mathbf {P} (A_{n}|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1})$ .

Ce résultat se démontre directement par récurrence. Il justifie le calcul des probabilités à l’aide d’un arbre de probabilité.

La formule des probabilités composées est notamment utilisée dans le cadre de processus stochastiques discrets.

Voir aussi

Formule des probabilités totales

Notes et références

↑ (en) René L. Schilling, Measure, Integral, Probability & Processes - Probab(ilistical)ly the Theoretical Minimum, Technische Universität Dresden, Germany, 2021 (ISBN 979-8-5991-0488-9), p. 136ff
↑ (en) David A. Schum, The Evidential Foundations of Probabilistic Reasoning, Northwestern University Press, 1994 (ISBN 978-0-8101-1821-8), p. 49
↑ (en) Henry E. Klugh, Statistics: The Essentials for Research, Psychology Press, 2013 (ISBN 978-1-134-92862-0), p. 149
↑ (en) Pat Virtue, « 10-606: Mathematical Foundations for Machine Learning » [PDF]
↑ Plus généralement, la formule est valable dès lors que les probabilités conditionnelles ont un sens, c’est-à-dire si l’intersection des $n -1$ premiers évènements $A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1}$ est de probabilité non nulle. Si la probabilité de l’intersection des $n$ évènements est nulle, alors la dernière probabilité conditionnelle aussi donc l’égalité se réduit simplement à $0 = 0$ .

Portail des probabilités et de la statistique

[1] (en) René L. Schilling, Measure, Integral, Probability & Processes - Probab(ilistical)ly the Theoretical Minimum, Technische Universität Dresden, Germany, 2021 (ISBN 979-8-5991-0488-9), p. 136ff

[2] (en) David A. Schum, The Evidential Foundations of Probabilistic Reasoning, Northwestern University Press, 1994 (ISBN 978-0-8101-1821-8), p. 49

[3] (en) Henry E. Klugh, Statistics: The Essentials for Research, Psychology Press, 2013 (ISBN 978-1-134-92862-0), p. 149

[4] (en) Pat Virtue, « 10-606: Mathematical Foundations for Machine Learning » [PDF]

[5] Plus généralement, la formule est valable dès lors que les probabilités conditionnelles ont un sens, c’est-à-dire si l’intersection des $n -1$ premiers évènements $A_{1}\cap \cdots \cap A_{n-1}$ est de probabilité non nulle. Si la probabilité de l’intersection des $n$ évènements est nulle, alors la dernière probabilité conditionnelle aussi donc l’égalité se réduit simplement à $0 = 0$ .

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