Fractale de Rauzy

La fractale de Rauzy (ou, au masculin, « le fractal de Rauzy ») est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : ${\displaystyle s(1)=12}$, ${\displaystyle s(2)=13}$, ${\displaystyle s(3)=1}$. Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy^[1], dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).

Le mot infini de Tribonacci se construit d'après le morphisme de mots ${\displaystyle s:\lbrace 1,2,3\rbrace \to \lbrace 1,2,3\rbrace }$ dit de Tribonacci définie par ${\displaystyle s(1)=12}$, ${\displaystyle s(2)=13}$, ${\displaystyle s(3)=1}$.

À partir de ${\displaystyle 1}$, les premiers mots de Tribonacci successifs sont donnés par la table suivante.

On montre que, pour ${\displaystyle n>2}$, ${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}}$, d'où le nom "Tribonacci".

Considérons maintenant l'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ muni d'un référentiel orthonormé ${\displaystyle (x,y,z)}$. La fractale de Rauzy se construit alors, comme suit^[2].

À chaque lettre on associe une direction de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (on associe ${\displaystyle x}$ à ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle y}$ à ${\displaystyle 2}$ et ${\displaystyle z}$ à ${\displaystyle 3}$), puis on interprète les itérations successive formant le mot de Tribonacci comme une somme de vecteurs unitaires et l'on trace les points atteints par cette suite. Par exemple, les premiers points sont donnés par le tableau suivant.

Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité de la figure. On projette alors les points obtenus sur le plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini^[pas clair]. La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.

La fractale de Rauzy :

• Peut être recouverte par trois copies disjointes d'elle-même, chacune réduite d'un facteurs ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle k^{2}}$ et ${\displaystyle k^{3}}$, où ${\displaystyle k}$ est l'unique racine réelle de l'équation polynomiale ${\displaystyle x^{3}+x^{2}+x-1=0}$. Explicitement, ${\displaystyle k}$ est donné par

${\displaystyle k={\frac {1}{3}}({\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}})\simeq 0.54368901269207636\ldots }$

• Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure changeant les trois copies de place.^[pas clair]
• Connexe et simplement connexe.
• Engendre un pavage périodique du plan par translation.
• La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$, et admet trois valeurs propres distinctes. L'unique valeur propre réelle ${\displaystyle \beta \simeq 1,8392\ldots }$ est appelée constante de Tribonacci, tandis que les autres sont deux complexes conjugués ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ vérifiant${\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta }$ , ce qui fait de ${\displaystyle \beta }$ un nombre de Pisot.
• Sa frontière est fractale, de dimension de Hausdorff ${\displaystyle d\simeq 1,0933\ldots }$ l'unique solution de l'équation ${\displaystyle 2|x|^{3s}+|x|^{4s}=1}$, avec ${\displaystyle \alpha }$ l'une des deux racines complexes conjuguées de ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$^[3].

Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.

• 
  s(1)=12, s(2)=31, s(3)=1
• 
  s(1)=12, s(2)=23, s(3)=312
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=31
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=1132

• Liste de fractales
• Suite de Tribonacci

• Fractal de Rauzy, introduction et propriétés, par Anne Siegel
• Propriétés topologiques des fractals de Rauzy
• Géométrie des substitutions, Pierre Arnoux et Anne Siegel, 2004

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