Fraction irréductible

Une fraction irréductible est une fraction pour laquelle il n’existe pas de fraction égale ayant des termes plus petits. Par exemple la fraction ${\displaystyle {\frac {12}{20}}}$ n'est pas irréductible car ${\displaystyle {\frac {12}{20}}={\frac {3\times 4}{5\times 4}}={\frac {3}{5}}}$. Formellement, une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont des entiers premiers entre eux, c’est-à-dire dont le plus grand commun diviseur est 1.

Comme la valeur d'une fraction ne change pas si on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Ainsi, deux fractions ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ et ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ sont égales si ${\displaystyle ad=bc}$. Certaines fractions peuvent être simplifiées : cela signifie que le numérateur et le dénominateur sont tous deux divisibles par un même entier. Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être simplifiée. C'est-à-dire que le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur est 1^[1].

De plus, chaque fraction est représentée par une unique fraction irréductible^{[note 1]}.

Une définition équivalente est qu'il n'existe pas de fraction ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ égale à ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ avec ${\displaystyle |c|<|a|}$ et ${\displaystyle |d|<|b|}$.

La fraction ${\displaystyle {\frac {12}{20}}}$ n'est pas irréductible car on peut la simplifier par 4 : ${\displaystyle {\frac {12}{20}}={\frac {3\times 4}{5\times 4}}={\frac {3}{5}}}$. On peut aussi écrire ${\displaystyle {\frac {12}{20}}={\frac {12:4}{20:4}}={\frac {3}{5}}}$.

La fraction ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$ est irréductible car 1 est le seul entier positif qui divise à la fois 3 et 5.

On peut simplifier une fraction en divisant ses termes successivement par leurs diviseurs communs apparents (que l'on trouve en appliquant les critères de divisibilité par 2, 3, 5, etc.).

Exemple

${\displaystyle {\frac {42}{390}}={\frac {42:2}{390:2}}={\frac {21}{195}}={\frac {21:3}{195:3}}={\frac {7}{65}}}$.

Les nombres 42 et 390 sont pairs, on peut les diviser par 2.

La somme des chiffres du nombre 195 est un multiple de 3 (1 + 9 + 5 = 15). Donc 195 est un multiple de 3. Et 21 l'est aussi. On peut donc diviser ces deux nombres par 3.

La dernière fraction obtenue est irréductible car 1 est le seul entier positif qui divise à la fois 7 et 65.

Pour réduire directement une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur.

Exemple

Pour réduire la fraction ${\displaystyle {\frac {42}{390}}}$, on calcule ${\displaystyle \operatorname {PGCD} (42,390)=6}$ puis on simplifie par 6 :

${\displaystyle {\frac {42}{390}}={\frac {6\times 7}{6\times 65}}={\frac {7}{65}}}$.

Les fractions irréductibles sont utilisées dans plusieurs preuves de l'irrationalité de la racine carrée de 2.

La notion de fraction irréductible se généralise aux corps des fractions d'un anneau factoriel. Chaque élément du corps peut alors s'écrire sous la forme d'une unique fraction irréductible.

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Gran Enciclopèdia Catalana
• (en) Eric W. Weisstein, « Irreducible Fraction », sur MathWorld

• (en) M. Vygodsky, Mathematical Handbook : Elementary Mathematics, Moscou, Éditions Mir, 1979 (lire en ligne)

• Arithmétique et théorie des nombres