Géométrie complexe

En mathématiques, la géométrie complexe est un domaine de recherche qui étudie les structures et constructions géométriques issues des nombres complexes ou décrites par eux. Elle s'intéresse notamment à l'étude d'espaces tels que les variétés complexes et les variétés algébriques complexes, des fonctions de plusieurs variables complexes ainsi qu'à des constructions holomorphes comme les fibrés vectoriels holomorphes et les faisceaux analytiques cohérents. L'application des méthodes transcendantes à la géométrie algébrique relève de ce domaine, ainsi que d'autres aspects géométriques de l'analyse complexe .

La géométrie complexe se situe à l'intersection de la géométrie algébrique, de la géométrie différentielle et de l'analyse complexe, et elle utilise des outils issus de ces trois domaines. Grâce à la combinaison de techniques et d'idées provenant de divers champs d'étude, les problèmes de géométrie complexe sont parfois plus accessibles qu'en géométrie différentielle réelle. Par exemple, la classification des variétés complexes et des variétés algébriques complexes à l'aide du programme du modèle minimal et la construction d'espaces de modules distinguent ce domaine de la géométrie différentielle, où la classification des variétés différentiables possibles est un problème nettement plus difficile. De plus, la structure supplémentaire de la géométrie complexe permet, notamment dans le cadre compact, de démontrer des résultats analytiques globaux, tels que la démonstration par Shing-Tung Yau de la conjecture de Calabi, la correspondance de Hitchin-Kobayashi, la correspondance de Hodge non abélienne, et des résultats d'existence pour les métriques de Kähler-Einstein et les métriques kählériennes à courbure scalaire constante. Certains résultats de géométrie complexe ont des conséquences en géométrie algébrique, à l'instar de la classification des variétés de Fano qui, via la théorie de la K-stabilité repose en grande partie sur des techniques d'analyse et de géométrie birationnelle.

La géométrie complexe a des applications importantes en physique théorique, où elle est essentielle à la compréhension de la théorie conforme des champs, de la théorie des cordes et de la symétrie miroir . Elle est souvent source d'exemples dans d'autres domaines des mathématiques, notamment :

• en théorie des représentations où l'on peut étudier les variétés de drapeaux généralisées à l'aide de la géométrie complexe, ce qui conduit au théorème de Borel-Weil-Bott ;
• en géométrie symplectique, où les variétés kählériennes sont exactement les variétés complexes munies d'une forme symplectique compatible avec la structure complexe ;
• en géométrie riemannienne, où les variétés complexes fournissent des exemples de structures métriques exotiques telles que les variétés de Calabi-Yau et les variétés hyperkählériennes ;
• en théorie de jauge, où les fibrés vectoriels holomorphes admettent souvent des solutions à d'importantes équations différentielles issues de la physique, telles que les équations de Yang-Mills.

La géométrie complexe a également un impact significatif en théorie de Hodge, où des résultats analytiques exprimés dans le cadre des variétés kählériennes permettent de comprendre les structures de Hodge pour les variétés et les schémas définis sur un corps quelconque, ainsi que la théorie de Hodge p-adique. De même, la théorie des déformations des variétés complexes permet de comprendre la théorie des déformations des schémas, et les résultats concernant la cohomologie des variétés complexes ont inspiré la formulation des conjectures de Weil et des conjectures standard de Grothendieck. Par ailleurs, les résultats et les techniques issus de nombreux domaines contribuent à la géométrie complexe. Par exemple, les développements en mathématiques de la théorie des cordes et de la symétrie miroir ont révélé de nombreux aspects de la nature des variétés de Calabi-Yau, dont les théoriciens des cordes prédisent qu'elles possèdent la structure de fibrations lagrangiennes grâce à la conjecture SYZ. Enfin, le développement de la théorie de Gromov-Witten des variétés symplectiques a conduit à des avancées en géométrie énumérative des variétés complexes.

La conjecture de Hodge, l'un des problèmes du prix du millénaire, est un problème de géométrie complexe.

De manière générale, la géométrie complexe s'intéresse aux espaces et aux objets géométriques qui sont modelés, en dimension complexe un sur le plan complexe, et en général sur l'espace ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Les propriétés du plan complexe et de l'analyse complexe en une ou plusieurs variables, telles que la notion intrinsèque d'orientabilité (c'est-à-dire la possibilité d'effectuer une rotation de 90 degrés dans le sens antihoraire en tout point du plan complexe) et la rigidité des fonctions holomorphes (c'est-à-dire que l'existence d'une unique dérivée complexe implique la différentiabilité complexe à tous les ordres), se manifestent dans toutes les formes d'étude de la géométrie complexe. Par exemple, toute variété complexe est canoniquement orientable, et une forme du théorème de Liouville est valable pour les variétés complexes compactes et les variétés algébriques complexes projectives. Ce phénomène de rigidité a également pour conséquence qu'il n'existe pas de partition de l'unité holomorphe sur une variété complexe.

En oubliant la structure complexe, on peut voir toute variété complexe comme une variété différentielle réelle. Réciproquement, une variété différentielle réelle peut admettre aucune, une unique, plusieurs, ou une infinité de structures complexes. Par exemple, l'ensemble des structures complexes existant sur le tore ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ s'identifie à la courbe modulaire.

En oubliant la structure algébrique, on peut voir toute variété algébrique comme une variété complexe. Réciproquement, le théorème GAGA de Serre affirme que toute variété analytique projective est en fait une variété algébrique, et que l'étude des données holomorphes sur une variété analytique est équivalente à l'étude de ses données algébriques.

On peut définir une variété complexe de deux façons : comme un espace topologique muni d'un atlas dont les changements de carte sont des biholomorphismes entre ouverts de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ou bien comme une variété réelle munie d'une structure presque complexe vérifiant une certaine condition d'intégrabilité. L'équivalence entre ces deux définitions est donnée par le théorème de Newlander-Niremberg.

L'espace topologique sous-jacent à une variété complexe n'est pas nécessairement séparé, comme le montre l'exemple de la droite complexe à deux origines.

• Fonction de plusieurs variables complexes
• Domaine d'holomorphie
• Courant (mathématiques)
• Géométrie symplectique

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