Hectogone

En géométrie, un hectogone ou hécatontagone est un polygone à 100 sommets, donc 100 côtés et 4 850 diagonales.

La somme des angles internes d'un hectogone non croisé vaut 17 640 degrés.

Un hectogone régulier est un hectogone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a vingt : dix-neuf étoilés (notés {100/k} pour k impair de 3 à 49 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {100}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hectogone régulier ».

Les vingt hectogones réguliers.

Représentation Symbole de Schläfli {100} {100/3} {100/7} {100/9} {100/11} Angle interne 176,4° 169,2° 154,8° 147,6° 140,4° Représentation Symbole de Schläfli {100/13} {100/17} {100/19} {100/21} {100/23} Angle interne 133,2° 118,8° 111,6° 104,4° 97,2° Représentation Symbole de Schläfli {100/27} {100/29} {100/31} {100/33} {100/37} Angle interne 82,8° 75,6° 68,4° 61,2° 46,8° Représentation Symbole de Schläfli {100/39} {100/41} {100/43} {100/47} {100/49} Angle interne 39,6° 32,4° 25,2° 10,8° 3,6°

Chacun des 100 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{100}}=3{,}6^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {17\,640^{\circ }}{100}}=176{,}4^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=100\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A=25\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{100}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{100}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{100}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{100}}\right)}}}$.

L'hectogone régulier n'est pas constructible à la règle et au compas : en effet, selon le théorème de Gauss-Wantzel, un polygone régulier est constructible à la règle et au compas si et seulement s'il a un nombre de côtés de la forme ${\displaystyle 2^{k}\times p_{1}\times p_{2}\times \cdots \times p_{m}}$ où les ${\displaystyle p_{i}}$ sont des nombres premiers de Fermat distincts. Or ${\displaystyle 100=2^{2}\times 5^{2}}$.

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