Identité de Binet-Cauchy

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l’identité de Binet–Cauchy, due à Jacques Philippe Marie Binet et Augustin-Louis Cauchy, s'écrit^[1] :

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$

pour des familles quelconques de nombres réels ou complexes (ou, plus généralement, d'éléments d'un anneau commutatif). Dans le cas particulier où ${\displaystyle a_{i}=c_{i}}$ et ${\displaystyle b_{i}=d_{i}}$, elle se réduit à l'identité de Lagrange.

Utilisant le produit scalaire et le produit extérieur, l'identité peut s'écrire

${\displaystyle (a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)\,}$

où ${\displaystyle a,b,c,d}$ sont des vecteurs à ${\displaystyle n}$ coordonnées. On peut encore la voir comme une formule donnant le produit scalaire de deux produits extérieurs en fonction de produits scalaires :

${\displaystyle (a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c).\,}$

Dans le cas particulier de vecteurs égaux (${\displaystyle a=c}$ et ${\displaystyle b=d}$), la formule devient (identité de Lagrange)

${\displaystyle ||a\wedge b||^{2}=||a||^{2}||b||^{2}-||a\cdot b||^{2}}$,

dont on peut déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz ${\displaystyle ||a\cdot b||\leqslant ||a||||b||}$.

Développant le dernier terme, et ajoutant et retranchant des sommes complémentaires bien choisies, on obtient :

${\displaystyle \sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$

${\displaystyle =\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}}$,

ce qui permet de regrouper ainsi  :

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.}$

Factorisant les termes indexés par ${\displaystyle i}$, l'identité en résulte.

Une forme plus générale, connue comme la formule de Binet-Cauchy, dit que, si ${\displaystyle A}$ est une matrice ${\displaystyle m\times n}$ et ${\displaystyle B}$ est une matrice ${\displaystyle n\times m}$, on a

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{\scriptstyle S\subset \{1,\ldots ,n\} \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),}$

où, ${\displaystyle S}$ étant une partie à ${\displaystyle m}$ éléments de ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ , ${\displaystyle A_{S}}$ est la matrice ${\displaystyle m\times m}$ dont les colonnes sont celles de ${\displaystyle A}$ ayant leurs indices dans ${\displaystyle S}$, et de même ${\displaystyle B_{S}}$ est la matrice ${\displaystyle m\times m}$ formée des lignes de ${\displaystyle B}$ d'indices dans ${\displaystyle S}$ ; dans cette formule, la somme est prise sur tous les sous-ensembles possibles.

L'identité de Binet-Cauchy s'en déduit comme cas particulier, en posant

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}.}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Binet–Cauchy identity » (voir la liste des auteurs).

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