Identités liées aux sommes de diviseurs

Cet article liste les identités nouvelles, intéressantes et utiles liées aux sommes de diviseurs apparaissant en théorie des nombres, c'est-à-dire les sommes d'une fonction arithmétique indexées par les diviseurs d'un nombre naturel ${\displaystyle n}$, ou de manière équivalente, la convolution de Dirichlet d'une fonction arithmétique ${\displaystyle f(n)}$ avec la fonction suivante :

${\displaystyle g(n):=\sum _{d\mid n}f(d).}$

Ces identités incluent des applications à des sommes d'une fonction arithmétique indexées seulement sur les diviseurs premiers propres de ${\displaystyle n}$. Nous définissons également des variantes périodiques de ces sommes de diviseur par rapport au plus grand commun diviseur sous la forme :

${\displaystyle g_{m}(n):=\sum _{d\mid (m,n)}f(d),\ 1\leq m\leq n}$.

Des relations d'inversion bien connues qui permettent d'exprimer la fonction ${\displaystyle f(n)}$ en fonction de ${\displaystyle g(n)}$ sont fournis par la formule d'inversion de Möbius. Naturellement, certains des exemples les plus intéressants de telles identités résultent de l'étude de fonctions sommatoires d'ordre moyen d'une fonction arithmétique ${\displaystyle f(n)}$ définie comme étant la somme des diviseurs d'une autre fonction arithmétique ${\displaystyle g(n)}$. Des exemples particuliers de sommes de diviseurs, impliquant des fonctions arithmétiques spéciales et des convolutions de Dirichlet spéciales de fonctions arithmétiques, peuvent être trouvées sur les pages dédiées à la fonction arithmétique, la convolution de Dirichlet, l'indicatrice d'Euler et la somme de Ramanujan.

Dans ce qui suit, on suppose ${\displaystyle f,g,h,u,v:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ sont des fonctions arithmétiques données et que ${\displaystyle G(x):=\sum _{n\leq x}g(n)}$ est la fonction sommatoire de ${\displaystyle g(n)}$. Un cas spécial plus courant de la première sommation ci-dessous est référencé sur la page "ordre moyen d'une fonction arithmétique"^[1].

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}v(n)\sum _{d\mid n}h(d)u\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{n=1}^{x}h(n)\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor }u(k)v(nk)}$
2. ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{x}f(n)\sum _{d\mid n}g\left({\frac {n}{d}}\right)&=\sum _{n=1}^{x}f(n)G\left(\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \right)=\sum _{i=1}^{x}\left(\sum _{\left\lceil {\frac {x+1}{i+1}}\right\rceil \leq n\leq \left\lfloor {\frac {x-1}{i}}\right\rfloor }f(n)\right)G(i)+\sum _{d\mid x}G(d)f\left({\frac {x}{d}}\right)\end{aligned}}}$
3. ${\displaystyle \sum _{d=1}^{x}f(d)\left(\sum _{r\mid (d,x)}g(r)h\left({\frac {d}{r}}\right)\right)=\sum _{r\mid x}g(r)\left(\sum _{1\leq d\leq x/r}h(d)f(rd)\right)}$
4. ${\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)=\sum _{d\mid x}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\cdot {\frac {x}{d}}}$
5. ${\displaystyle \sum _{m=1}^{x}\left(\sum _{d\mid (m,x)}f(d)g\left({\frac {x}{d}}\right)\right)t^{m}=(t^{x}-1)\cdot \sum _{d\mid x}{\frac {t^{d}f(d)}{t^{d}-1}}g\left({\frac {x}{d}}\right)}$

La méthode de convolution est une technique générale d'estimation des sommes d'ordre moyen de la forme :

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\qquad {\text{ ou }}\qquad \sum _{\stackrel {q\leq x}{q{\text{ sans carré}}}}f(q),}$

où la fonction multiplicative f peut être écrite comme un produit de convolution sous la forme ${\displaystyle f(n)=(u\ast v)(n)}$ pour des fonctions arithmétiques u et v bien choisies^[2].

Une fonction arithmétique est périodique modulo k, ou k-périodique, si ${\displaystyle f(n+k)=f(n)}$ pour tous ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Des exemples de fonctions k-périodiques sont les caractères de Dirichlet ${\displaystyle f(n)=\chi (n)}$ modulo k et la fonction plus grand commun diviseur ${\displaystyle f(n)=(n,k)}$. On sait que chaque fonction arithmétique k-périodique possède une représentation en série de Fourier (discrète finie) de la forme :

${\displaystyle f(n)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right),}$

où les coefficients de Fourier ${\displaystyle a_{k}(m)}$ définis par l'équation suivante sont également k-périodiques :

${\displaystyle a_{k}(m)={\frac {1}{k}}\sum _{n=1}^{k}f(n)e\left(-{\frac {mn}{k}}\right).}$

On s'intéresse aux "fonctions diviseurs" k-périodiques suivantes :

${\displaystyle s_{k}(n):=\sum _{d\mid (n,k)}f(d)g\left({\frac {k}{d}}\right)=\sum _{m=1}^{k}a_{k}(m)e\left({\frac {mn}{k}}\right).}$

On sait que les coefficients de Fourier de ces sommes de diviseurs sont données par la formule ^[3]:

${\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}.}$

On peut également exprimer les coefficients de Fourier, dans l'équation immédiatement ci-dessus, en termes de transformée de Fourier de toute fonction h prenant ses valeurs sur l'ensemble des ${\displaystyle \operatorname {pgcd} (n,k)}$ en utilisant le résultat suivant, où ${\displaystyle c_{q}(n)}$ est une somme de Ramanujan (cf. Transformée de Fourier de la fonction indicatrice d'Euler )^[4]:

${\displaystyle F_{h}(m,n)=\sum _{k=1}^{n}h((k,n))e\left(-{\frac {km}{n}}\right)=(h\ast c_{\bullet }(m))(n).}$

Ainsi, en combinant les résultats ci-dessus, nous obtenons que :

${\displaystyle a_{k}(m)=\sum _{d\mid (m,k)}g(d)f\left({\frac {k}{d}}\right){\frac {d}{k}}=\sum _{d\mid k}\sum _{r\mid d}f(r)g(d)c_{\frac {d}{r}}(m).}$

Soit ${\displaystyle a(n)}$ la fonction caractéristique des nombres premiers, c'est-à-dire ${\displaystyle a(n)=1}$ si et seulement si ${\displaystyle n}$ est premier et vaut zéro sinon. Alors, comme cas particulier de la première identité dans l'équation (1) dans la section à propos de l'échange (d'ordre) de sommation ci-dessus, on peut exprimer les sommes d'ordre moyen :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\sum _{p\mid n \atop p{\text{ premier}}}f(p)=\sum _{p=1}^{x}a(p)f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor =\sum _{p=1 \atop p{\text{ premier}}}^{x}f(p)\left\lfloor {\frac {x}{p}}\right\rfloor .}$

Il existe également une formule intégrale basée sur la formule sommatoire d'Abel pour les sommes de la forme ^[5]:

${\displaystyle \sum _{p=1 \atop p{\text{ premier}}}^{x}f(p)=\pi (x)f(x)-\int _{2}^{x}\pi (t)f^{\prime }(t)\mathrm {d} t\approx {\frac {xf(x)}{\ln x}}-\int _{2}^{x}{\frac {t}{\ln t}}f^{\prime }(t)\mathrm {d} t,}$

où ${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$ désigne la fonction de compte des nombres premiers. En général, on suppose ici l'hypothèse que la fonction f est continue et dérivable.

Nous avons les formules de somme des diviseurs suivantes pour f toute fonction arithmétique et g complètement multiplicative où ${\displaystyle \varphi (n)}$ est la fonction indicatrice d'Euler et ${\displaystyle \mu (n)}$ est la fonction de Möbius^[6],[7] :

1. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)\varphi \left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{k=1}^{n}f(\operatorname {gcd} (n,k))}$
2. ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)f(d)=\prod _{p\mid n \atop p{\text{ premier}}}(1-f(p))}$
3. ${\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}g(d)f\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right).}$
4. Si f est complètement multiplicative, la multiplication ponctuelle ${\displaystyle \cdot }$ avec une convolution de Dirichlet donne :${\displaystyle f\cdot (g\ast h)=(f\cdot g)\ast (f\cdot h)}$ .
5. ${\displaystyle \sum _{d^{k}\mid n}\mu (d)={\begin{cases}0,&{\text{ si }}m^{k}\mid n{\text{ pour }}m>1;\\1,&{\text{sinon}}\end{cases}}}$
6. Si ${\displaystyle m\geq 1}$ et n a plus de m facteurs premiers distincts (en), alors ${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)\log ^{m}(d)=0.}$

On adopte la notation ${\displaystyle \varepsilon (n)=\delta _{n,1}}$ désignant l'identité multiplicative de la convolution de Dirichlet de sorte que ${\displaystyle (\varepsilon \ast f)(n)=(f\ast \varepsilon )(n)=f(n)}$ pour toute fonction arithmétique f et ${\displaystyle n\geq 1}$ . L'inverse d'une fonction arithmétique f (pour le produit de Dirichlet) satisfait ${\displaystyle (f\ast f^{-1})(n)=(f^{-1}\ast f)(n)=\varepsilon (n)}$ pour tout ${\displaystyle n\geq 1}$. Il existe une formule de convolution récursive bien connue pour calculer l'inverse ${\displaystyle f^{-1}(n)}$ d'une fonction f donnée sous la forme^[8]:

${\displaystyle f^{-1}(n)={\begin{cases}{\frac {1}{f(1)}},&{\text{ si }}n=1;\\[3pt]-{\frac {1}{f(1)}}\sum \limits _{d\mid n \atop d>1}f(d)f^{-1}\left({\frac {n}{d}}\right),&{\text{ si }}n>1.\end{cases}}}$

Pour une fonction fixée f, considérons la fonction ${\displaystyle f_{\pm }(n):=(-1)^{\delta _{n,1}}f(n)={\begin{cases}-f(1),&{\text{ si }}n=1;\\f(n),&{\text{ si }}n>1\end{cases}}}$

Ensuite, on définit deux produits de convolution multiples (ou imbriquées) suivants pour toute fonction arithmétique fixée f :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{j,f}(n)&:=\underbrace {\left(f_{\pm }\ast f\ast \cdots \ast f\right)} _{j{\text{ times}}}(n)\\\operatorname {ds} _{j,f}(n)&:={\begin{cases}f_{\pm }(n),&{\text{ si }}j=1;\\[3pt]\sum \limits _{d\mid n \atop d>1}f(d)\operatorname {ds} _{j-1,f}(n/d),&{\text{ si }}j>1.\end{cases}}\end{aligned}}}$

La fonction ${\displaystyle D_{f}(n)}$, définie ci-dessous, est étroitement liée à l'inverse d'une fonction arbitraire f^[9] .

${\displaystyle D_{f}(n):=\sum _{j=1}^{n}\operatorname {ds} _{2j,f}(n)=\sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\sum _{i=0}^{2m-1}{\binom {2m-1}{i}}(-1)^{i+1}{\widetilde {\operatorname {ds} }}_{i+1,f}(n)}$

En particulier, on peut prouver que ^[10]

${\displaystyle f^{-1}(n)=\left(D+{\frac {\varepsilon }{f(1)}}\right)(n).}$

Un tableau des valeurs de ${\displaystyle D_{f}(n)}$ pour ${\displaystyle 2\leq n\leq 16}$ apparaît ci-dessous. Ce tableau précise la signification et l'interprétation de cette fonction comme étant la somme signée de toutes les k -convolutions multiples possibles de la fonction f avec elle-même.

n	${\displaystyle D_{f}(n)}$	n	${\displaystyle D_{f}(n)}$	n	${\displaystyle D_{f}(n)}$
2	${\displaystyle -{\frac {f(2)}{f(1)^{2}}}}$	7	${\displaystyle -{\frac {f(7)}{f(1)^{2}}}}$	12	${\displaystyle {\frac {2f(3)f(4)+2f(2)f(6)-f(1)f(12)}{f(1)^{3}}}-{\frac {3f(2)^{2}f(3)}{f(1)^{4}}}}$
3	${\displaystyle -{\frac {f(3)}{f(1)^{2}}}}$	8	${\displaystyle {\frac {2f(2)f(4)-f(1)f(8)}{f(1)^{3}}}-{\frac {f(2)^{3}}{f(1)^{4}}}}$	13	${\displaystyle -{\frac {f(13)}{f(1)^{2}}}}$
4	${\displaystyle {\frac {f(2)^{2}-f(1)f(4)}{f(1)^{3}}}}$	9	${\displaystyle {\frac {f(3)^{2}-f(1)f(9)}{f(1)^{3}}}}$	14	${\displaystyle {\frac {2f(2)f(7)-f(1)f(14)}{f(1)^{3}}}}$
5	${\displaystyle -{\frac {f(5)}{f(1)^{2}}}}$	10	${\displaystyle {\frac {2f(2)f(5)-f(1)f(10)}{f(1)^{3}}}}$	15	${\displaystyle {\frac {2f(3)f(5)-f(1)f(15)}{f(1)^{3}}}}$
6	${\displaystyle {\frac {2f(2)f(3)-f(1)f(6)}{f(1)^{3}}}}$	11	${\displaystyle -{\frac {f(11)}{f(1)^{2}}}}$	16	${\displaystyle {\frac {f(2)^{4}}{f(1)^{5}}}-{\frac {3f(4)f(2)^{2}}{f(1)^{4}}}+{\frac {f(4)^{2}+2f(2)f(8)}{f(1)^{3}}}-{\frac {f(16)}{f(1)^{2}}}}$

Soit ${\displaystyle p_{k}(n):=p(n-k)}$ où p est la fonction de partition (en). Il existe une autre expression pour l'inverse donnée en fonction des fonctions ci-dessus et des coefficients du q-symbole de Pochhammer pour ${\displaystyle n>1}$ donné par ^[9]

${\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{n}\left[(p_{k}\ast \mu )(n)+(p_{k}\ast D_{f}\ast \mu )(n)\right]\times [q^{k-1}]{\frac {(q;q)_{\infty }}{1-q}}.}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Divisor sum identities » (voir la liste des auteurs).

• T. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer, 1976 (ISBN 0-387-90163-9, lire en ligne)
• (en) « Chapter 27 Functions of Number Theory », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)
• Terrence Tao, « Dirichlet convolution: What's new? »

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