Inégalité de Bernoulli

En analyse, l'inégalité de Bernoulli — portant le nom du mathématicien Jacques Bernoulli — énonce que :

${\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx}$

pour tout entier^[1] n > 1 et tout réel x supérieur ou égal à −1. De plus, l'inégalité ci-dessus est stricte si x est non nul et seulement dans ce cas.

Soit un réel ${\displaystyle x\in [-1,0[\;\cup \;]0,+\infty [}$. Montrons l'inégalité stricte pour tout entier n > 1, par récurrence sur n .

• Initialisation : ${\displaystyle (1+x)^{2}=1+2x+x^{2}>1+2x}$ donc la propriété est vraie pour n = 2.
• Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que ${\displaystyle (1+x)^{k}>1+kx}$ et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que ${\displaystyle (1+x)^{k+1}>1+(k+1)x}$.
  En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : ${\displaystyle (1+x)^{k+1}=(1+x)^{k}(1+x)\geqslant (1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^{2}>1+(k+1)x}$.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier ${\displaystyle n\geqslant 2}$.

Remarquons enfin que si ${\displaystyle x=0}$ alors

${\displaystyle (1+0)^{n}=1^{n}=1=1+n\times 0}$

pour tout entier ${\displaystyle n\geqslant 2}$. Il y a donc inégalité stricte si, et seulement si, ${\displaystyle x\neq 0}$.

D'après la formule du binôme, si x > 0 , ${\displaystyle (1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}+\cdots +x^{n}>1+nx}$

et d'après la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique, si ${\displaystyle -1\leqslant x<0}$ : ${\displaystyle n>1+(1+x)+\dots +(1+x)^{n-1}={\frac {1-(1+x)^{n}}{-x}}}$, d'où ${\displaystyle (1+x)^{n}>1+nx}$.

La courbe d'une fonction strictement convexe se trouve strictement au-dessus de ses tangentes, sauf au point de contact.

Plus précisément, si ${\displaystyle f}$ est strictement convexe dérivable sur un intervalle ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle x_{0}}$ un point de ${\displaystyle I}$, alors : ${\displaystyle \forall x\in I\backslash \{x_{0}\}:f(x)>f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$.

Appliquant ceci à ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{n}}$ qui est bien strictement convexe sur ${\displaystyle [-1,+\infty [}$ pour ${\displaystyle n>1}$ car ${\displaystyle f'(x)=n(1+x)^{n-1}}$ est strictement croissante sur cet intervalle, en prenant ${\displaystyle x_{0}=0}$ on obtient bien ${\displaystyle (1+x)^{n}>1+nx}$.

Pour tout réel r > 1 et tout réel x supérieur ou égal à −1, on a encore :

${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$.

avec égalité si, et seulement si, x est nul. La démonstration par convexité fonctionne de la même façon, mais on peut effectuer la démonstration élémentaire suivante :

Démonstration par étude des variations de la différence

Cette fois c'est r qu'on fixe (strictement supérieur à 1), et l'on étudie les variations de la fonction f définie sur D = [–1, +∞[ par :

${\displaystyle f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)}$,

le but étant de montrer que f(x) > 0 pour tout x non nul appartenant à D.

Les deux premières dérivées de f sur ]–1, +∞[ sont données par :

${\displaystyle f'(x)=r\left(1+x\right)^{r-1}-r=r\left(\left(1+x\right)^{r-1}-1\right)}$,

${\displaystyle f''(x)=r(r-1)\left(1+x\right)^{r-2}>0}$

donc ${\displaystyle f'}$ est nulle en 0 et strictement croissante. Elle est donc strictement négative sur ]–1, 0[ et strictement positive sur ]0, +∞[.

Par conséquent, la fonction f (continue en 0 et −1) est strictement décroissante sur [–1, 0] et strictement croissante sur [0, +∞[.

Comme elle s'annule en 0, on a donc bien f > 0 sur ${\displaystyle \left[-1,0\right[\cup \left]0,+\infty \right[}$.

Pour tout réel ${\displaystyle r\in ]0,1[}$ et tout réel x supérieur ou égal à −1, on a cette fois ^[2]:

${\displaystyle (1+x)^{r}\leqslant 1+rx}$.

La fonction ${\displaystyle f}$définie par ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{r}}$ est cette fois strictement concave sur ${\displaystyle [-1,+\infty [}$ car ${\displaystyle f''(x)=r(r-1)(1+x)^{r-2}<0}$ sur ${\displaystyle ]-1,+\infty [}$, d'où le changement de sens de l'inégalité.

L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée comme lemme pour démontrer que pour tout réel q > 1, la limite de la suite géométrique (qⁿ) est égale à +∞.

Elle peut aussi être utilisée pour démontrer l'inégalité arithmético-géométrique : ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$^[2].

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